Séries Funcionais

São séries do tipo

n=0fn(x)\sum ^{\infty }_{n=0} f_{n}( x)

Iremos estudar somente as séries de potências:

Séries de potências

Chama-se séries de potências a uma série funcional da forma

n=pan(xx0)n\sum ^{\infty }_{n=p} a_{n}( x-x_{0})^{n}

em que xx é a variável e pN0p\in\N_0. Chama-se centro da série ao ponto x0Rx_0\in\R e coeficientes da série aos termos da sucessão (an)(a_n).

tip

xx → variável;
pN0p\in\N_0;
x0Rx_0\in\R → centro da série;
Termos de (an)(a_n) → coeficientes da série;

🧠 Pode-se sempre considerar p=0p=0, se considerarmos os coeficientes a0=a1==ap1=0{a_0=a_1=\dots=a_{p-1}=0}.

Domínio de convergência

Conjunto de xx para os quais a série converge.

Soma da série de potências/Valor da série de potências em xx

Função de xx, definida pela soma da série em todos os pontos do domínio de convergência.

Primeiro Teorema de Abel

Seja

n=0an(xx0)n\sum ^{\infty }_{n=0} a_{n}( x-x_{0})^{n}

uma série de potências. Se a série converge para x1Rx_1\in\R então converge absolutamente para xVr(x0){x\in V_r(x_0)}, onde r=x1x0r=\left| x_1-x_0\right|.

Mais ainda, existe o limite

R=1limannR0+{+}R=\frac{1}{\overline{\lim }\sqrt[n]{|a_{n} |}} \in \mathbb{R}^{+}_{0} \cup \{+\infty \}
  • Se R>0R>0, a série é convergente para xVR(x0)x\in V_R(x_0);
  • Se R<+R<+\infin, a série é divergente para x], x0R[]x0+R, +[x\in ] -\infty ,\ x_{0} -R[ \cup ] x_{0} +R,\ +\infty [

Raio de convergência

Valor do limite RR indicado acima.

👉 O teorema de Abel estabelece qual o domínio de convergência de qualquer série de potências, exceto em dois pontos, em que nada se sabe da sua natureza: x0±Rx_0\pm R.

O símbolo limun\overline{\lim}u_n representa o limite superior de unu_n, isto é, o supremo em R\overline\R dos sublimites de (un)(u_n).

Sempre que an=0a_n=0 para nn0n\ge n_0 para algum n0N+n_0\in\N^+, a série é truncada e, por isso, uma função polinomial. Logo, o seu domínio de convergência será R\R.

Raio de convergência de uma série de potências

Dada uma série de potências de coeficientes ana_n, sempre que exista o limite

limanan+1\lim \frac{|a_{n} |}{|a_{n+1} |}

tem-se que o raio de convergência da série, RR, tem o valor desse limite.

Este é um método bastante mais simpático de calcular o raio de convergência do que o teorema de Abel, e funciona a maior parte das vezes.

Podemos assim retirar algumas observações:

  • O raio de convergência existe sempre, para qualquer série de potências. Como é um limite pode ser 0, um número real positivo ou ++\infin.
  • A fórmula simplificada para o raio, que funciona a maior parte das vezes, pode gerar alguma confusão na mente desprevenida pois é, formalmente, o inverso algébrico do limite que é necessário calcular para aplicar o critério de D’Alembert.
  • O raio de convergência e o centro permitem caracterizar o domínio de convergência, com possível exceção de dois pontos.
Exemplos

Seja a série de potências:

(12n+1xn)\sum ^{\infty }\left(\frac{1}{2^{n} +1} \cdot x^{n}\right)

Os coeficientes da série são dados pela sucessão de termo an=12n+1a_{n} =\frac{1}{2^{n} +1} e o centro da série é o ponto x0=0x_0=0.

O raio de convergência é dado pelo seguinte limite, caso este exista:

anan+1=12n+112n+1+1=2n+1+12n+1=2+2n1+2n2\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{\frac{1}{2^{n}+1}}{\frac{1}{2^{n+1}+1}}=\frac{2^{n+1}+1}{2^{n}+1}=\frac{2+2^{-n}}{1+2^{-n}} \longrightarrow 2

Logo, R=2R=2.


Seja a série de potências:

(2x2)nn+1\sum ^{\infty }\frac{( 2x-2)^{n}}{n+1}

Começa-se por escrever a série na forma canónica:

(2x2)nn+1=(2nn+1(x1)n)\sum ^{\infty }\frac{( 2x-2)^{n}}{n+1} =\sum ^{\infty }\left(\frac{2^{n}}{n+1}( x-1)^{n}\right)

Os coeficientes da série são dados pela sucessão de termo an=2nn+1a_{n} =\frac{2^{n}}{n +1} e o centro da série é o ponto x0=1x_0=1.

O raio de convergência é dado pelo seguinte limite, caso este exista:

2nn+12n+1n+2=12×n+2n+1=12×1+2n1+1n12\frac{\frac{2^{n}}{n+1}}{\frac{2^{n+1}}{n+2}} =\frac{1}{2} \times \frac{n+2}{n+1} =\frac{1}{2} \times \frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\rightarrow \frac{1}{2}

Logo, R=12R=\frac 12


Seja a série de potências:

xnn!\sum ^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}

Começa-se por escrever a série na forma canónica:

xnn!=1n!xn\sum ^{\infty }\frac{x^{n}}{n!} =\sum ^{\infty }\frac{1}{n!} \cdot x^{n}

Os coeficientes da série são dados pela sucessão de termo an=1n!a_{n} =\frac1{n!} e o centro da série é o ponto x0=0x_0=0.

O raio de convergência é dado pelo seguinte limite, caso este exista:

1n!1(n+1)!=n+1+\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{( n+1) !}} =n+1\rightarrow +\infty

Logo, R=+R=+\infin


Seja a série de potências:

(nx)n\sum ^{\infty }(nx)^n

Começa-se por escrever a série na forma canónica:

(nx)n=nnxn\sum ^{\infty }(nx)^n=\sum ^{\infty }n^n\cdot x^n

Os coeficientes da série são dados pela sucessão de termo an=nna_{n} =n^n e o centro da série é o ponto x0=0x_0=0.

O raio de convergência é dado pelo seguinte limite, caso este exista:

nn(n+1)n+1=1n+1(nn+1)n0\frac{n^{n}}{( n+1)^{n+1}} =\frac{1}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\rightarrow 0

Logo, R=0R=0

Domínio de convergência

É fácil determinar o domínio de convergência, após saber o raio de convergência.

Podem existir 3 casos:

  • R=0    D={x0}R=0\implies D=\{x_0\}
  • R=+    D=RR=+\infin\implies D=\R
  • RR+    I=]x0R, x0+R[R\in\R^+\implies I=\left] x_0-R,\ x_0+R\right[, a que se chama intervalo de convergência.

Neste último caso, é necessário ainda estudar, à parte, a natureza dos extremos de II. O intervalo de convergência é sempre um intervalo aberto. Pode-se também concluir que a série é sempre divergente para x], x0R[]x0+R, +[x\in\left]-\infin,\ x_0-R\right[\cup\left] x_0+R,\ +\infin\right[ e absolutamente convergente em II.

👉 As séries de potências não podem ser absolutamente convergentes num extremo sem o serem também no outro.

Exemplos

Seja a série de potências:

xnn2n\sum ^{\infty }\frac{x^{n}}{n2^{n}}

O centro da série é x0=0x_0=0. Pode-se calcular o raio de convergência pelo limite:

1n2n1(n+1)2n+1=2n+1n2\frac{\frac{1}{n2^{n}}}{\frac{1}{( n+1) 2^{n+1}}} =2\cdot \frac{n+1}{n}\rightarrow 2

Então, a série é absolutamente convergente em ]x0R, x0+R[=]2, 2[]x_0-R,\ x_0+R[=]-2,\ 2[ e divergente em ], 2[]2, +[]-\infin,\ -2[\cup]2,\ +\infin[.

Estuda-se assim a natureza da série nos pontos que faltam (2, 2)(-2,\ 2). Começa-se por x=2x=2:

2nn2n=1n\sum ^{\infty }\frac{2^{n}}{n2^{n}} =\sum ^{\infty }\frac{1}{n}

Sabemos que é divergente por ser uma série de Dirichlet com α1\alpha\le1.

Para x=2x=-2:

(2)nn2n=(1)nn\sum ^{\infty }\frac{( -2)^{n}}{n2^{n}} =\sum ^{\infty }\frac{( -1)^{n}}{n}

Sabemos que é simplesmente convergente por um exemplo anterior (secção da convergência absoluta e simples de séries numéricas).

Logo, a série de potências dada é absolutamente convergente em ]2, 2[]-2,\ 2[, simplesmente convergente em x=2x=-2 e divergente em ], 2[[2, +[]-\infin,\ -2[\cup[2,\ +\infin[.


Seja a série de potências:

(x1)n3nn2\sum ^{\infty }\frac{( x-1)^{n}}{3^{n} n^{2}}

O centro da série é x0=1x_0=1. Pode-se calcular o raio de convergência pelo limite:

13nn213n+1(n+1)2=3(n+1n)23\frac{\frac{1}{3^{n} n^{2}}}{\frac{1}{3^{n+1}( n+1)^{2}}} =3\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}\rightarrow 3

Então, a série é

  • absolutamente convergente em ]2, 4[]-2,\ 4[
  • divergente em ], 2[]4, +[]-\infin,\ -2[\cup]4,\ +\infin[
  • não se sabe (ainda) em x=2x=-2 e x=4x=4.

Para x=2x=-2:

(1)nn2\sum ^{\infty }\frac{( -1)^{n}}{n^{2}}

A série dos módulos é uma série de Dirichlet com α=2>1\alpha=2>1, logo a série para x=2x=-2 é absolutamente convergente.

Para x=4x=4:

1n2\sum ^{\infty }\frac{1}{n^{2}}

É absolutamente convergente.

Logo, a série de potências dada é absolutamente convergente em [2, 4][-2,\ 4] e divergente em ], 2[]4, +[]-\infin,\ -2[\cup]4,\ +\infin[.

Soma e produto de séries de potências

É necessário, tanto para a soma como para o produto, que as séries tenham o mesmo centro.

Soma

A série obtida tem o mesmo centro e o mesmo raio de convergência das séries operandas.

n=0an(xx0)n+n=0bn(xx0)n=n=0(an+bn)(xx0)n\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}

Produto por um real

A série obtida tem o mesmo centro e o mesmo raio de convergência da série dada, exceto se k=0{k=0}.

kn=0an(xx0)n=n=0(kan)(xx0)nk\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (k\cdot a_{n})\left(x-x_{0}\right)^{n}

Produto entre duas séries

Usando o produto de Cauchy e o Teorema de Mertens, obtém-se uma série com o mesmo centro e o mesmo raio de convergência das séries operandas.

(n=0an(xx0)n)(n=0bn(xx0)n)=n=0k=0n(ankbk)(xx0)nk+k=n=0cn(xx0)n\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\right) \cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n}\left(a_{n-k} b_{k}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n-k+k} \\=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}

Simplificação termo geral

Sendo a série:

n=0anx2n\sum ^{\infty }_{n=0} a_{n} x^{2n}

Pode-se escrever a série da forma:

a0+a1x2+a2x4++anx2na0+0x+a1x2+0x3+a2x4++anx2nb0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4++b2nx2na_{0} +a_{1} x^{2} +a_{2} x^{4} +\dotsc +a_{n} x^{2n}\\ a_0+0x+a_1x^2+0x^3+a_2x^4+\dotsc+a_nx^{2n}\\ b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+b_4x^4+\dotsc+b_{2n}x^{2n}

Obtém-se, assim, a expressão dos coeficientes da série dados por:

{an2sen eˊ par0sen eˊ ıˊmpar\begin{cases}a_{\frac{n}{2}} & \text{se} & n\text{ é par}\\0 & \text{se} & n\text{ é ímpar}\end{cases}

No entanto, para estes coeficientes não se pode aplicar a fórmula simplificada do raio de convergência. Então:

limann=R11,R=1limbnn=1limb2n2n=1limann=R1\overline{\lim }\sqrt[n]{|a_{n} |} =R^{-1}_{1} ,\\\\R=\frac{1}{\overline{\lim }\sqrt[n]{|b_{n} |}} =\frac{1}{\overline{\lim }\sqrt[2n]{|b_{2n} |}} =\sqrt{\frac{1}{\overline{\lim }\sqrt[n]{|a_{n} |}}} =\sqrt{R_{1}}

Também se pode fazer uma "mudança de variável":

y=x2Converge se:yVR1(0)y<R1x2<R1x<R1Diverge se:y>R1x2 >R1x>R1y=x^{2}\\\\\text{Converge se:}\\y\in V_{R_{1}}( 0) \Leftrightarrow |y|< R_{1} \Leftrightarrow x^{2} < R_{1} \Leftrightarrow |x|< \sqrt{R_{1}}\\\text{Diverge se:}\\|y| >R_{1} \Leftrightarrow x^{2}  >R_{1} \Leftrightarrow |x| >\sqrt{R_{1}}
Exemplo

Seja a série:

n=01n(x1x+1)n\sum ^{\infty }_{n=0}\frac{1}{n}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{n}

Pode-se escrever esta série como uma série de potências, fazendo a mudança de variável:

y=x1x+1y=\frac{x-1}{x+1}

Esta série é absolutamente convergente se y<1|y|<1 e divergente se y>1|y|>1.

Então a série converge absolutamente se

x1x+1<1x1<x+1x>0\left| \frac{x-1}{x+1}\right| < 1\Leftrightarrow |x-1|< |x+1|\Leftrightarrow x >0

Pode-se fazer o mesmo para estudar a divergência (vai dar x<0x<0).

Quando x=0x=0, a série vai ser simplesmente convergente.

Funções analíticas

Função analítica num ponto

Dados x0Rx_0\in\R e uma função f:Vr(x0)Rf: V_r(x_0)\to \R, para algum rR+r\in\R^+, diz-se que ff é analítica em x0x_0 se existe uma sucessão de coeficientes (an)(a_n) tal que

f(x)=n=0an(xx0)nf( x) =\sum ^{\infty }_{n=0} a_{n}( x-x_{0})^{n}

para qualquer xVR(x0)x\in V_R(x_0), para algum RR+R\in\R^+ tal que RrR\le r.

Se r=R=+r=R=+\infin então a função diz-se inteira.

Função analítica

Função que pode ser escrita como uma série de potências, localmente num ponto x0x_0.

  • Uma função nunca é apenas analítica em x0x_0 (pela analiticidade das séries de potências, abaixo)
  • A sucessão (an)(a_n) é única, isto é, para uma determinada função, não é possível encontrar uma sucessão diferente que esteja também correta.

A demonstração destas duas propriedades encontra-se no PDF da aula 31, páginas 7 e 8.

Analiticidade das séries de potências no interior do seu intervalo de convergência

Seja ff uma função analítica em x0x_0 que admite uma representação em série de potências de xx0{x-x_0} com raio de convergência RR. Então, ff é analítica em todos os pontos de VR(x0)V_R(x_0).

Unicidade da representação em série de potências

Seja ff uma função analítica num ponto x0Rx_0\in\R. Então, existe uma e uma só sucessão de coeficientes (an)(a_n) tal que

f(x)=n=0an(xx0)nf( x) =\sum ^{\infty }_{n=0} a_{n}( x-x_{0})^{n}

Obviamente, para um ponto x1x0x_1\ne x_0, isto já não é verdade, e as sucessões de coeficientes são, normalmente, diferentes.

Continuidade das funções analíticas

Seja ff uma função analítica em x0Rx_0\in\R cuja série de potências de xx0x-x_0 converge num intervalo VR(x0)V_R(x_0), para algum RR+R\in\R^+. Então, ff é contínua em VR(x0)V_R(x_0).

A demonstração encontra-se no PDF da aula 31, páginas 8 e 9.

tip

Uma função analítica é contínua no intervalo onde é convergente.

Diferenciabilidade das funções analíticas

Seja ff uma função analítica num ponto x0Rx_0\in\R tal que a respetiva representação em série de potências de xx0x-x_0 tem coeficientes ana_n e converge em VR(x0)V_R(x_0), para algum RR+R\in\R^+. Então, fC(VR(x0))f\in C^\infin(V_R(x_0)) e as suas derivadas podem ser determinadas derivando o termo a termo a série de representa ff.

A demonstração encontra-se no PDF da aula 31, página 9.

tip

Uma função analítica, no intervalo onde é convergente, pode ser derivada infinitas vezes.

Assim, todas as funções analíticas são extremamente regulares, e as funções inteiras são extremamente regulares em todo o R\R.

Conclui-se também:

f(x0)=a0,f(x0)=a1,f(x0)=2a2,,f(n)(x0)=n!anf(x_0)=a_0\quad,\quad f'(x_0)=a_1\quad,\quad f''(x_0)=2a_2\quad,\quad\dots\quad,\quad f^{(n)}(x_0)=n!a_n

Funções inteiras

Esta nova forma de representar algumas funções já conhecidas, permite-nos calcular a soma de séries através do valor destas funções, que muito provavelmente é conhecido.

Abaixo encontram-se alguns exemplos de funções já estudadas que são, na verdade, funções inteiras:

ex=n=0xnn!,xRe^x=\sum^{\infin}_{n=0}\frac{x^n}{n!}\quad,\quad x\in\R

Facilmente se pode concluir que se consegue somar algumas séries que anteriormente era impossível:

n=02nn!=e2 e n=21n!=e2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{n !}=\mathrm{e}^{2} \quad \text { e } \quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n !}=\mathrm{e}-2

Também as funções trigonométricas, sin\sin, cos\cos, sh\sh e ch\ch podem ser escritas como funções inteiras:

senx=n=0(1)n(2n+1)!x2n+1,xR\operatorname{sen} x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1} \quad, \quad x \in \mathbb{R}
cosx=n=0(1)n(2n)!x2n,xR\cos x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n} \quad, \quad x \in \mathbb{R}
shx=n=01(2n+1)!x2n+1,xR\operatorname{sh} x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1) !} x^{2 n+1} \quad , \quad x \in \mathbb{R}
chx=n=01(2n)!x2n,xR\operatorname{ch} x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n) !} x^{2 n} \quad, \quad x \in \mathbb{R}

Novamente, podemos usar estas novas funções para calcular somas de séries:

n=1(1)n(π)2n4n(2n)!=n=1((1)n(2n)!(π2)2n)=cos(π2)1=1\sum ^{\infty }_{n=1}\frac{( -1)^{n}( \pi )^{2n}}{4^{n}( 2n) !} =\sum ^{\infty }_{n=1}\left(\frac{( -1)^{n}}{( 2n) !}\left(\frac{\pi }{2}\right)^{2n}\right) =\cos\left(\frac{\pi }{2}\right) -1=-1

PDFs: