Série Numérica

Dada uma sucessão de números reais $(u_n)$, chama-se série de termo geral $u_n$, e escreve-se

à soma de todos os termos de $(u_n)$.

Se essa soma for finita $(u_n)$ diz-se somável e a série diz-se convergente, caso contrário a sucessão diz-se não somável e a série é divergente.

Quando a série é convergente, chama-se soma da série à soma de todos os termos de $(u_n)$.

Uma série não é nada mais nada menos do que a soma infinita de todos os termos de uma sucessão.

Como a dificuldade do estudo de uma série é proveniente de a soma ser de infinitos termos, considera-se assim as somas de um número finito de termos.

Sucessão de somas parciais de uma série

Seja $(u_n)$ uma sucessão de números reais. Chama-se sucessão das somas parciais da série de termo geral $u_n$ à sucessão cujo termo de ordem $n$ é dado por:

A série de termo geral $u_n$ é convergente se e só se $(S_n)$ é uma sucessão convergente. Nesse caso chama-se soma da série ao limite de $(S_n)$, o qual representa, naturalmente, a soma de todos os termos de $(u_n)$.

Assim, quando $S_n\to S\in\R$, a série converge e:

Também de pode escrever o mesmo para $\overline\R$, mas neste caso a série é divergente.

Define-se sucessão de somas parciais de uma série $(S_n)$ como uma sucessão em que cada termo é a soma até $n$ termos de $(u_n)$.

Por exemplo:

• $S_2$ seria a soma dos dois primeiros termos de $(u_n)$: $S_2=u_1+u_2$.

Caso esta sucessão $(S_n)$ tenha limite finito, a série é convergente, e o limite corresponde à soma da série.

Natureza de uma série

Já se observou que uma série pode ser convergente ou divergente.

Os termos iniciais de uma série não alteram a sua natureza (porém alteram o valor da sua soma), logo podemos estudar o seu comportamento apenas para $n>>$.

Fixando um $p\in\N^+$:

em que o primeiro termos é uma constante, para $n>p$. Então, a sucessão converge, se e só se o segundo termo é uma sucessão convergente.

👉 Representação de série de termo geral $u_n$: $\sum u_n$.

Critérios de convergência

Condição necessária de convergência

Seja $u_n$ o termo geral de uma série convergente. Então, $u_n\to0$.

No entanto, isto é apenas uma condição necessária e não uma condição suficiente, logo não se pode concluir a convergência de uma série a partir do facto de o termo geral ser um infinitésimo.

Se uma série é convergente, então $u_n\to0$. Nada se pode concluir a partir de $u_n\to0$. No entanto, permite concluir que se o termo geral não é um infinitésimo, então a série diverge.

Exemplos

$$\sum\left(1+\frac1n\right)^n$$

Como o termo geral tende para $e$, a série é divergente.

---

$$\sum \cos\left(\frac{1}{n}\right)$$

Como o termo geral tende para $1$, a série é divergente.

---

$$\sum\frac1n$$

Como o termo geral tende para $0$ (infinitésimo), nada se pode concluir pelo critério acima.

Resto de Ordem $n$

Seja $(u_n)$ uma sucessão de números reais somáveis. Chama-se resto de ordem $n$ da série de termo geral $u_n$ à sucessão cujo termo de ordem $n$ é dado por

Se $(u_n)$ é somável, então, $(r_n)$ é um infinitésimo.

Chama-se resto de ordem $n$ à diferença entre o valor da soma de uma série e o valor de $S_n$. Caso a série seja convergente, o resto tende para zero (infinitésimo).

Por exemplo:

• Sendo $S_2=u_1+u_2$, então $r_2=u_3+u_4+\dots+u_n = \sum^\infin_{k=3}u_k$.

Soma de séries

Sejam $\alpha\in\R$ e duas séries convergentes

• A série soma das suas séries é a série convergente cujo termo geral é $a_n+b_n$.
• A série multiplicação da série de termo geral $a_n$ por $\alpha$ é a série convergente cujo termo geral é $\alpha a_n$.
• O conjunto de séries convergentes é um espaço linear de dimensão infinita.

Como a natureza de uma série não depende dos primeiros termos, pode definir-se a série soma de, com $p_1\ne p_2$:

Supondo que $p_1<p_2$, a série soma pode ser definida por:

👉 Apenas se pode realizar soma de séries entre séries convergentes.

As somas entres todas as outras séries não estão definidas, mas pode-se somar o termo geral para obter uma nova série, tal que:

• A soma do termo geral de uma série convergente com o termo geral de uma série divergente é sempre o termo geral de uma série divergente.
• A soma dos termo gerais de duas séries divergentes pode ser o termo geral de uma série convergente ou divergente.

Exemplos

Considerando as séries convergentes (porque são geométricas):

$$\sum ^{\infty }_{n=1} 3\cdot 2^{-n} \quad \text{e} \quad \sum ^{\infty }_{n=1} 2\cdot 3^{-n}$$

A soma destas duas séries é uma série convergente, de termo geral $6\left(2^{-n-1}+3^{-n-1}\right)$.

---

Considerando as seguintes séries, a primeira convergente e a segunda divergente.

$$\sum ^{\infty }_{n=1} 3\cdot 2^{-n} \quad \text{e} \quad \sum ^{\infty }_{n=1}\cos\left(\frac{1}{n}\right)$$

A soma destas séries não está definida, mas sabe-se que a série de termo geral ${3\cdot 2^{-n}+\cos\left(\frac1n\right)}$ é uma série divergente.

---

Considerando as seguinte séries, ambas divergentes.

$$\sum ^{\infty }_{n=1}\left[ 3\cdot 2^{-n} +\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right] \quad \text{e} \quad \sum ^{\infty }_{n=1} -\cos\left(\frac{1}{n}\right)$$

A soma destas séries não está definida, e não é imediato qual a natureza da série cujo termo geral é a soma dos termos gerais destas duas séries.

Podemos, no entanto, reconhecer que vai ser uma série convergente, porque a soma dos termos gerais vai ser $3\cdot 2^{-n}$, cuja convergência da série já foi estudada.

---

Considerando as seguinte séries, ambas divergentes.

$$\sum ^{\infty }_{n=1} 3\cos\left(\frac{1}{n}\right) \quad \text{e} \quad \sum ^{\infty }_{n=1}\cos\left(\frac{1}{n}\right)$$

A soma destas séries não está definida, e não é imediato qual a natureza da série cujo termo geral é a soma dos termos gerais destas duas séries.

No entanto, podemos reparar que a soma dos termos gerais ($4\cos\left(\frac{1}{n}\right)$) não é um infinitésimo, logo a série cujo termo geral é a soma dos termos gerais das duas séries acima, é divergente.

Série Geométrica

Define-se como série geométrica qualquer série da forma

com $K,r\in\R$.

Uma série geométrica é convergente se e só se $|r|<1$ e, nesse caso, a soma da série dada é:

Exemplos

$$\sum^\infin_{n=1}2^n$$

É divergente, pois $|r|>1$.

---

$$\sum^\infin_{n=1}2\times3^{-n}=\sum^\infin_{n=1}2\times\left(\frac{1}{3}\right)^{n}$$

É convergente, pois $|r|<1$, e a sua soma é $S=\frac{2\cdot \left(\frac 13\right)^1}{1-\frac13}=\frac23\times\frac32=1$.

Série de Mengoli

Uma série de Mengoli é uma série que tem uma das duas formas:

e é convergente se e só se $(u_n)$ é uma sucessão convergente.

Nesse caso, a sua soma é $S=u_p-\lim u_n$ para o primeiro caso e $S=\lim u_n-u_p$ para o segundo.

Exemplos

$$\sum ^{\infty }_{n=1}\left(\frac{1}{n+5} -\frac{1}{n+4}\right)$$

Logo, é uma série de Mengoli da forma

$$\sum ^{\infty }_{n=1}( u_{n+1} -u_{n}) \quad \text{com} \quad u_{n} =\frac{1}{n+4}$$

Como $\lim u_n=0\in\R$, a série é convergente e a sua soma é:

$$u_{1} =\frac{1}{1+4} =\frac{1}{5} \quad \quad S=0-\frac{1}{5} =-\frac{1}{5}$$

---

$$\sum ^{\infty }_{n=0}\left(\frac{1}{1+e^{-n}} -\frac{1}{1+e^{-n-1}}\right)$$

Logo, é uma série de Mengoli da forma

$$\sum ^{\infty }_{n=0}( u_{n} -u_{n+1}) \quad \text{com} \quad u_{n} =\frac{1}{1+e^{-n}}$$

Como $\lim u_n=1\in\R$, a série é convergente e a sua soma é:

$$u_{0} =\frac{1}{1+e^{0}} =\frac{1}{2} \quad \quad S=\frac{1}{2} -1=-\frac{1}{2}$$

---

$$\sum ^{\infty }_{n=1}\left(\sin\frac{n\pi }{4} -\sin\frac{( n+1) \pi }{4}\right)$$

Também é uma série de Mengoli da forma

$$\sum ^{\infty }_{n=1}( u_{n} -u_{n+1}) \quad \text{com} \quad u_{n} =\sin\frac{n\pi }{4}$$

No entanto, como a sucessão $(u_n)$ é divergente, a série é divergente.

Série Redutível

Diz-se que uma série é redutível se existem $\alpha\in\R\backslash\{0\}$ e $k,p\in\N^+$ tais que a série se pode escrever na forma

A série é convergente se e só se a sucessão definida por

é uma sucessão convergente. Nesse caso, a soma da série é dada por

Condição suficiente de convergência de uma série redutível

Como a condição de convergência não é muito fácil de verificar, usa-se o seguinte:

Se $u_n\to L\in\R$, então a série redutível

é convergente e a sua soma é

Exemplos

$$\sum ^{\infty }_{n=2}\frac{2}{n^{2} +4n+3}$$

Podemos usar a técnica adquirida na Primitivação de Funções Racionais para decompor o termo geral numa soma de frações mais simples.

$$\frac{2}{n^{2} +4n+3} =\frac{2}{( n+1)( n+3)} =\frac{A}{n+1} +\frac{B}{n+3}\\ \\ A( n+3) +B( n+1) =2\Leftrightarrow \begin{cases} A+B=0\\ 3A+B=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A=1\\ B=-1 \end{cases}\\ \\ \frac{2}{n^{2} +4n+3} =\frac{1}{n+1} -\frac{1}{n+3}$$

Então, a série pode ser escrita na forma:

$$\sum ^{\infty }_{n=2}\left(\frac{1}{n+1} -\frac{1}{n+3}\right)$$

Que não é de Mengoli, mas é quase, podendo somar e subtrair o termo $\frac1{n+2}$ para a transformar numa série de Mengoli:

$$\sum ^{\infty }_{n=2}\left[\left(\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2}\right) -\left(\frac{1}{n+2} +\frac{1}{n+3}\right)\right]$$

Esta é uma série de Mengoli da forma:

$$\sum ^{\infty }_{n=2}( u_{n} -u_{n+1}) \quad \text{com} \quad u_{n} =\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2}$$

Como $u_n\to0\in\R$, a série é convergente e a sua soma é

$$u_{2} =\frac{1}{2+1} +\frac{1}{2+2} =\frac{1}{3} +\frac{1}{4} =\frac{7}{12} \quad \quad S=\frac{7}{12} -0=\frac{7}{12}$$

Séries de Termos não Negativos

Resumo Critérios de Convergência

👉 Muitas vezes só se consegue estudar a convergência de uma série, não sendo possível determinar a sua soma.

• A série é convergente se e só se a sucessão das somas parciais é convergente.
• Se o termo geral da série não é um infinitésimo, a série é divergente.
• Se o resto de ordem $n$ não é um infinitésimo, a série é divergente.
• Se o termo geral da série é a soma de dois termos gerais de séries convergentes, a série é convergente.
• Se o termo geral da série é a soma do termo geral de uma série convergente com o termo geral de uma série divergente, a série é divergente.
• Se o termo geral é o produto de uma constante real pelo termo geral de uma série convergente, a série é convergente.
• Se a série é geométrica, ela converge se e só se a sua razão tem módulo inferior a 1
• Se o termo geral da série é da forma $u_n-u_{n+1}$ a série converge se e só se $(u_n)$ é convergente.

Critério geral de comparação (CGC)

Se $u_n$ for não positivo, para $n>>$, a série de termo geral $-u_n$ só tem termos não negativos, para $n>>$, e tem a mesma natureza que a série de termo geral $u_n$. Assim, a partir daqui, estudam-se apenas as séries de termos gerais não negativos, para $n>>$.

Sejam $(a_n)$ e $(b_n)$ duas sucessões de números reais tais que

• Se a série de termo geral $a_n$ for divergente, a série de termo geral $b_n$ é divergente.
• Se a série de termo geral $b_n$ for convergente, a série de termo geral $a_n$ é convergente.

Seja $(a_n)$ e $(b_n)$ tal que $0\le a_n\le b_n\quad,\quad n>>$:

• Série de $a_n$ é divergente $\implies$Série de $b_n$ é divergente
• Série de $b_n$ é convergente $\implies$Série de $a_n$ é convergente

Exemplos

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\frac{1}{n!}$$

Como $2^n<<n!$ pela escala de sucessões, têm-se $2^n\le n!$ para $n>>$.

Então, para $n>>$:

$$0\leqslant \frac{1}{n!} \leqslant \frac{1}{2^{n}} =2^{-n} =\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$$

A série de termo geral $2^{-n}$ é uma série geométrica de razão $\frac12$, sendo convergente, e portanto, pelo CGC, a série de termo geral $\frac{1}{n!}$ também é convergente.

---

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$$

Para $n>1$, tem-se:

$$0\leqslant \frac{1}{n^{2}} \leqslant \frac{1}{n( n-1)}$$

Pela decomposição em funções simples:

$$\frac{1}{n( n-1)} =\frac{A}{n} +\frac{B}{n-1} \Leftrightarrow 1=A( n-1) +Bn\\\\\begin{aligned}n=0\Longrightarrow  & 1=-A\Leftrightarrow A=-1\\n=1\Longrightarrow  & B=1\end{aligned}\\\\\frac{1}{n( n-1)} =\frac{1}{n-1} -\frac{1}{n}$$

Então, a série é uma série de Mengoli convergente, do tipo

$$\sum ^{\infty }( u_{n} -u_{n+1}) \quad \text{com} \quad u_{n} =\frac{1}{n}\rightarrow 0\in \mathbb{R}$$

Então, pelo CGC, a série de termo geral $\frac1{n^2}$ também é convergente.

---

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}}$$

Para qualquer $n\in\N^+$:

$$0\leqslant \frac{1}{\sqrt{n+1} +\sqrt{n}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}}$$

Por outro lado,

$$\frac{1}{\sqrt{n+1} +\sqrt{n}} =\frac{\sqrt{n+1} -\sqrt{n}}{( n+1) -n} =\sqrt{n+1} -\sqrt{n}$$

e a série de termo geral $\sqrt{n+1}-\sqrt n$ é da forma:

$$\sum ^{\infty }( u_{n+1} -u_{n}) \quad \text{com} \quad u_{n} =\sqrt{n}\rightarrow +\infty$$

Então, como a série de termo geral $\frac{1}{\sqrt{n+1} +\sqrt{n}}$ é divergente, pelo CGC, a série de termo geral $\frac1 {\sqrt n}$ também é divergente.

Critério de comparação (com recurso ao limite) (CC)

Sejam $(a_n)$ e $(b_n)$ duas sucessões de números reais tais que, para $n>>$, $a_n\ge 0$ e $b_n>0$.

Então, se

as séries de termos gerais $a_n$ e $b_n$ têm a mesma natureza.

Se $\frac{a_n}{b_n}\to L\in\R^+$, então as séries de termos gerais $a_n$ e $b_n$ têm a mesma natureza (são ambas convergentes ou ambas divergentes)

Mesmo se o limite for $0$ ou $+\infin$, o critério pode permitir alguma conclusão, a partir do CGC, se a sucessão de comparação tiver a natureza apropriada para esse fim.

• Se o limite de comparação é $0$, então $a_n<b_n$, para $n>>$
• Se o limite de comparação é $+\infin$, então $b_n<a_n$, para $n>>$

Exemplos

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\sin\frac{1}{\sqrt{n}}$$

Tem-se que:

$$\frac{\sin\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}$$

Logo, as séries de termos gerais $\sin\frac1{\sqrt n}$ e $\frac 1{\sqrt n}$ têm a mesma natureza. Logo, pelos exemplos anteriores, são ambas divergentes.

---

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\left( 2^{n}\sin\frac{1}{3^{n}}\right)$$

Tem-se que:

$$\frac{2^{n}\sin\frac{1}{3^{n}}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{n}} =\frac{\sin\frac{1}{3^{n}}}{\frac{1}{3^{n}}}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}$$

Como a série de termo geral $\left(\frac23\right)^n$ é uma série geométrica de razão $<1$, é convergente, e então, a série dada é também convergente.

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Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\frac{2n^{2} +1}{n^{4} +1}$$

Tem-se que:

$$\frac{\frac{2n^{2} +1}{n^{4} +1}}{\frac{1}{n^{2}}} =\frac{2n^{4} +n^{2}}{n^{4} +1} =\frac{2+n^{-2}}{1+n^{-4}}\rightarrow 2\in \mathbb{R}^{+}$$

Como a série de termo geral $\frac1{n^2}$ é uma série convergente (como visto nos exemplos anteriores), então, a série dada é também convergente.

---

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\frac{2-n}{n!n}$$

Esta série não está nas condições do teorema, pois os seus termos são negativos para $n>2$, mas tem a mesma natureza que a série com o termo geral simétrico. Logo, estudamos a série:

$$\sum ^{\infty }\frac{n-2}{n!n}$$

Tem-se que:

$$\frac{\frac{n-2}{n!n}}{\frac{1}{n!}} =\frac{n-2}{n} =1-\frac{2}{n}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}$$

Como a série de termo geral $\frac1{n!}$ é uma série convergente (como visto nos exemplos anteriores), então, a série dada é também convergente.

Série de Dirichlet

Chama-se série de Dirichlet a qualquer série da forma

A série acima converge se e só se $\alpha>1$.

Usam-se estas séries como escolha para séries de comparação, quando o termo geral das sucessões dominantes são potências ou quando o termo geral se adequa ao uso de um limite notável (como por exemplo o do $\sin$).

Exemplos

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\sin\frac{1}{n}$$

Tem-se que:

$$\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}$$

Como a série de termo geral $\frac1n$ é divergente (pois é de Dirichlet com $\alpha \le 1$), a série dada também é divergente.

---

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\frac{n^{2} +n+1}{2n^{7} +2}$$

Tem-se que, para $\frac{n^2}{n^7}=\frac 1 {n^5}$ (visto que $n^2$ e $n^5$ são as sucessões dominantes do numerador e denominador, respetivamente):

$$\frac{\frac{n^{2} +n+1}{2n^{7} +2}}{\frac{n^{2}}{n^{7}}} =\frac{1+\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{2}{n^{7}}}\rightarrow \frac{1}{2} \in \mathbb{R}^{+}$$

Como a série de termo geral $\frac1{n^5}$ é convergente (pois é de Dirichlet com $\alpha > 1$), a série dada também é convergente.

---

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\left(\sqrt[3]{n^{2} +1} -\sqrt[3]{n^{2} +3n}\right)$$

Esta série não está nas condições do teorema, pois todos os seus termos são negativos, mas tem a mesma natureza que a série com o termo geral simétrico. Logo, estudamos a série:

$$\sum ^{\infty }\left(\sqrt[3]{n^{2} +3n} -\sqrt[3]{n^{2} +1}\right)$$

Como a sucessão dominante dentro de ambas as raízes é a mesma, tem-se de recorrer ao "conjugado":

$$\sqrt[3]{n^{2} +3n} -\sqrt[3]{n^{2} +1} =\frac{3n-1}{\sqrt[3]{\left( n^{2} +3n\right)^{2}} +\sqrt[3]{\left( n^{2} +3n\right)\left( n^{2} +1\right)} +\sqrt[3]{\left( n^{2} +1\right)^{2}}}$$

Como a dominante do numerador é $n$ e a do denominador é $n^{\frac43}$, compara-se a série dada com o termo geral $\frac{n}{n^{\frac43}}=\frac1{n^{\frac13}}$:

$$\frac{\frac{3n-1}{\sqrt[3]{\left( n^{2} +3n\right)^{2}} +\sqrt[3]{\left( n^{2} +3n\right)\left( n^{2} +1\right)} +\sqrt[3]{\left( n^{2} +1\right)^{2}}}}{\frac{n}{n^{\frac{4}{3}}}} =\\\frac{3-\frac{1}{n}}{\sqrt[3]{\left( 1+\frac{3}{n}\right)^{2}} +\sqrt[3]{\left( 1+\frac{3}{n}\right)\left( 1+\frac{1}{n^{2}}\right)} +\sqrt[3]{\left( 1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{2}}}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}$$

Como a série de comparação é de Dirichlet com $\alpha\le 1$, são ambas divergentes.

Critério da razão

Seja $(a_n)$ uma sucessão de números reais positivos. Então,

• Se $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le R<1$, para $n>>$, então a série de termo geral $a_n$ converge.
• Se $\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1$, para $n>>$, então a série de termo geral $a_n$ diverge.

Este é um critério mais teórico, usado para chegar ao Critério de D'Alembert (definido abaixo). A explicação encontra-se no PDF da aula 28, página 9.

Critério de D'Alembert

Seja $(a_n)$ uma sucessão de números reais positivos tal que existe, em $\overline\R$, o limite:

• Se $L>1$, a série de termo geral $a_n$ diverge
• Se $L<1$, a série de termo geral $a_n$ converge
• Se $L=1$, nada se pode concluir

Este critério é normalmente utilizado para séries cujos termos gerais envolvem exponenciais e/ou fatoriais, ou quando o termo geral está definido por recorrência.

Quando, pelo critério de D'Alembert, se conclui que a série diverge $(L>1)$, isto deve-se ao facto de a série não ser um infinitésimo.

Exemplos

$$\sum ^{\infty }\frac{( n!)^{2}}{( 2n) !}$$

Calculando o limite auxiliar do critério de D'Alembert:

$$\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} & =\frac{\frac{(( n+1) !)^{2}}{( 2n+2) !}}{\frac{( n!)^{2}}{( 2n) !}}\\ & =\frac{(( n+1) !)^{2}}{( n!)^{2}} \cdot \frac{( 2n) !}{( 2n+2) !}\\ & =\frac{( n+1)^{2}( n!)^{2}}{( n!)^{2}} \cdot \frac{( 2n) !}{( 2n+2)( 2n+1)( 2n) !}\\ & =\frac{( n+1)^{2}}{2( n+1)( 2n+1)}\\ & =\frac{n+1}{4n+2}\\ & =\frac{1+\frac{1}{n}}{4+\frac{2}{n}}\rightarrow \frac{1}{4} < 1\end{aligned}$$

Logo a série dada é convergente pelo critério de D'Alembert.

---

Seja a série:

$$\sum^\infin \frac{2^nn!}{n^n}$$

Calculando o limite auxiliar do critério de D'Alembert:

$$\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} & =\frac{\frac{2^{n+1}( n+1) !}{( n+1)^{n+1}}}{\frac{2^{n} n!}{n^{n}}}\\ & =\frac{2^{n+1}}{2^{n}} \cdot \ \frac{( n+1) !}{n!} \cdot \frac{n^{n}}{( n+1)^{n+1}}\\ & =2\cdot \frac{( n+1) n!}{n!} \cdot \frac{n^{n}}{( n+1)^{n} \cdot ( n+1)}\\ & =2\cdot \frac{( n+1) \cdot n^{n}}{( n+1)^{n} \cdot ( n+1)}\\ & =2\cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\\ & =2\cdot \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n}\\ & =2\cdot \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\rightarrow \frac{2}{e} < 1\end{aligned}$$

Logo a série dada é convergente pelo critério de D'Alembert.

Critério da raiz

👉 Não frequentemente utilizado. É usado para chegar ao Critério da Raiz de Cauchy (abaixo).

Seja $(a_n)$ uma sucessão de termos positivos, então:

• Se $\sqrt[n]{a_n}\le R < 1$ para $n>>$, a série de termo geral $a_n$ é convergente.
• Se $\sqrt[n]{a_n}\ge 1$ para infinitos termos, a série de termo geral $a_n$ diverge.

Critério da raiz de Cauchy

Seja $(a_n)$ uma sucessão de números reais positivos tal que $\sqrt[n]{a_n}\to L$. Então:

• Se $L<1$ a série de termo geral $a_n$ é convergente.
• Se $L>1$ a série de termo geral $a_n$ é divergente.

Se $L=1$ mas $\sqrt[n]{a_n}> 1$ para $n>>$ (isto é, $\sqrt[n]{a_n}\to 1^+$), a série diverge.

Exemplos

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\left(\frac{3^{n} +( -2)^{n}}{4^{n}}\right)$$

$$\sqrt[n]{\frac{3^{n} +( -2)^{n}}{4^{n}}} =\sqrt[n]{\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\left[ 1+\left( -\frac{2}{4} \times \frac{4}{3}\right)^{n}\right]} =\frac{3}{4}\sqrt[n]{1+\left( -\frac{2}{3}\right)^{n}}\rightarrow \frac{3}{4} < 1$$

Pelo critério da raiz de Cauchy, a série é convergente.

---

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\left( 1\pm \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$$

$$\sqrt[n]{\left( 1\pm \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}} =\left( 1\pm \frac{1}{n}\right)^{n} =e^{\pm 1}$$

Pelo critério da raiz de Cauchy, conclui-se que:

• Com o sinal $+$, a série diverge, pois $e>1$.
• Com o sinal $-$, a série converge, pois $e^{-1}<1$.

Outro critério

Este critério (sem nome), é útil para séries com termos gerais do tipo $\frac{1}{n^\alpha \log^\beta n}$.

Seja $(a_n)$ uma sucessão decrescente e positiva. Então as séries de termos gerais $a_n$ e $2^na_{2^n}$ têm a mesma natureza.

Se o termo geral é decrescente e positivo, podemos "substituir $n$ por $2^n$ e multiplicar tudo por $2^n$", mantendo a natureza da série.

Este critério pode ser utilizado na obtenção da natureza das séries de Dirichlet.

Exemplo

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\frac{1}{n\log^{2} n}$$

Como $n$ e $\log^2n$ são termos gerais de sucessões crescentes, o termo geral da série dada é decrescente. É também positivo para todo o $n\in\N^+$, $n\ge2$.

Então, a série dada tem a mesma natureza que a série de termo geral:

$$\frac{2^{n}}{2^{n}\log^{2}\left( 2^{n}\right)} =\frac{1}{\log^{2}\left( 2^{n}\right)} =\frac{1}{( n\log 2)^{2}} =\frac{1}{\left(\log^{2} 2\right) n^{2}}$$

Logo, como a série com o termo geral obtido corresponde a uma série de Dirichlet (que se sabe ter com $\alpha>1$) com uma constante, a série dada é convergente.

Critério do integral

Seja $f$ uma função decrescente e positiva e $(u_n)$ uma sucessão tal que $u_n=f(n)$, para $n>>$. Então, a série de termo geral $u_n$ converge se e só se existir e for finito o limite

para algum $p\in\R$.

Exemplos de estudo da natureza de séries

Abaixo seguem-se alguns exemplos do estudo da natureza de séries, utilizando vários critérios simultaneamente.

Exemplos

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\frac{n^{3} n!+5^{n}}{n^{5} n!+n^{n} +n^{9}}$$

Começa-se por utilizar o critério de comparação para simplificar o termo geral.

No numerador, é simples encontrar a sucessão dominante $(n^3n!)$, pois:

$$5^n<<n!<<n^3n!$$

No denominador, é necessário calcular um limite auxiliar, pois pela escala básica apenas se pode concluir:

$$n^9<<n!<<n^5n!\quad\text e\quad n^9<<n^n$$

$$\begin{aligned}\frac{\frac{( n+1)^{5}( n+1) !}{( n+1)^{n+1}}}{\frac{n^{5} n!}{n^{n}}} & =\left(\frac{n+1}{n}\right)^{5} \times \frac{( n+1) n!}{n!} \times \frac{n^{n}}{( n+1)^{n}( n+1)}\\ & =\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{5} \times \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\\ & =\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{5} \times \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\rightarrow 1\times \frac{1}{e} =\frac{1}{e} < 1\end{aligned}$$

Assim, podemos concluir que $n^5n!<<n^n$.

Usando agora o critério de comparação, comparando o termo geral dado com $\frac{n^3n!}{n^n}$.

$$\frac{\frac{n^{3} n!+5^{n}}{n^{5} n!+n^{n} +n^{9}}}{\frac{n^{3} n!}{n^{n}}} =\frac{1+\frac{5^{n}}{n^{3} n!}}{\frac{n^{5} n!}{n^{n}} +1+\frac{n^{9}}{n^{n}}}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}$$

Logo, as séries de termos gerais $\frac{n^{3} n!+5^{n}}{n^{5} n!+n^{n} +n^{9}}$ e $\frac{n^3n!}{n^n}$ têm a mesma natureza.

Então, usa-se agora o critério de D'Alembert para determinar a natureza da série.

$$\begin{aligned}\frac{\frac{( n+1)^{3}( n+1) !}{( n+1)^{n+1}}}{\frac{n^{3} n!}{n^{n}}} & =\dotsc \ \text{(bastante semelhante ao limite acima)}\\ & =\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{3} \times \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\rightarrow 1\times \frac{1}{e} =\frac{1}{e} < 1\end{aligned}$$

Como $\frac{a_{n+1}}{a_n}\to\frac1e <1$, a série dada é convergente.

---

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\left(\frac{2n+2}{3n+5}\right)^{2n}$$

Escolhe-se o critério da raiz:

$$\sqrt[n]{\left(\frac{2n+2}{3n+5}\right)^{2n}} =\left(\frac{2n+2}{3n+5}\right)^{2} =\left(\frac{2+\frac{2}{n}}{3+\frac{5}{n}}\right)^{2}\rightarrow \frac{4}{9} < 1$$

Logo, a série dada é convergente.

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Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\frac{\sqrt[4]{n^{3} +1} +n}{\sqrt[3]{n^{4} +1} +\log n}$$

Usa-se o critério da comparação para simplificar o termo geral.

Determinam-se os termos dominantes no numerador e no denominador, pela escala básica:

$$1<<n^\frac34<<n\quad\text e\quad 1<<\log n << n^\frac43$$

Então, compara-se o termo geral com $\frac{n}{n^{\frac43}}=\frac1{n^\frac13}$:

$$\begin{aligned}\frac{\frac{\sqrt[4]{n^{3} +1} +n}{\sqrt[3]{n^{4} +1} +\log n}}{\frac{n}{n^{\frac{4}{3}}}} & =\frac{\sqrt[4]{n^{3} +1} +n}{n} \times \frac{n^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{n^{4} +1} +\log n}\\ & =\frac{\sqrt[4]{\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{4}}} +1}{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^{4}}} +\frac{\log n}{n^{\frac{4}{3}}}}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}\end{aligned}$$

Então, a série dada e a série de termo geral $\frac1{n^\frac13}$ têm a mesma natureza.

Como a série de termo geral $\frac1{n^\frac13}$ é uma série de Dirichlet com $\alpha=\frac13<1$, a série dada é divergente.

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Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\sin\left(\frac{3^{n}}{n!}\right)$$

Podemos recorrer ao critério de comparação, de forma a construir o limite notável do seno:

$$\frac{\sin\left(\frac{3^{n}}{n!}\right)}{\frac{3^{n}}{n!}}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}$$

Então, a série dada e a série de termo geral $\frac{3^{n}}{n!}$ têm a mesma natureza.

Usa-se assim o critério de D'Alembert:

$$\frac{\frac{3^{n+1}}{( n+1) !}}{\frac{3^{n}}{n!}} =\frac{3^{n+1}}{3^{n}} \times \frac{n!}{( n+1) !} =\frac{3}{n+1}\rightarrow 0< 1$$

Conclui-se assim que a série dada é convergente.

Convergência simples e absoluta

Diz-se que uma série de termos genéricos $a_n$ é absolutamente convergente se a série

é uma série convergente.

Diz-se que a série é simplesmente convergente se a série acima diverge mas a série de termo geral $a_n$ converge.

Existem assim 3 tipos de séries:

• Absolutamente convergentes
• Simplesmente convergentes
• Divergentes

👉 Qualquer série de termos de sinal fixo, se convergir, é absolutamente convergente.

Critério do módulo

Se a série de termo geral $|a_n|$ é convergente então a série de termo geral $a_n$ também é convergente.

Mais ainda, nesse caso a soma da primeira é não inferior ao módulo da soma da segunda, isto é:

se a série dos módulos convergir.

Exemplos

Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\frac{( -1)^{n} n^{7}}{2^{n} +1}$$

Como o sinal é dado por $(-1)^n$, para determinar a série dos módulos basta:

$$\sum ^{\infty }\frac{n^{7}}{2^{n} +1}$$

Podemos assim usar o critério de D'Alembert (pois inclui uma exponencial) para a estudar:

$$\frac{\frac{(n+1)^{7}}{2^{n+1}+1}}{\frac{n^{7}}{2^{n}+1}}=\frac{(n+1)^{7}}{n^{7}} \cdot \frac{2^{n}+1}{2^{n+1}+1}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{7} \cdot \frac{1+2^{-n}}{2+2^{-n}}=\\=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{7} \cdot \frac{1+2^{-n}}{2+2^{-n}} \longrightarrow \frac{1}{2}<1$$

Conclui-se assim que a série dos módulos é convergente e, portanto, a série dada é absolutamente convergente.

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Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\frac{20-( -1)^{n} n^{7}}{n^{10} +20n}$$

A partir do segundo termo, o sinal é dado pelo termo $-(-1)^nn^7=(-1)^{n+1}n^7$.

Então, para $n\ge 2$, para obter o módulo pode-se multiplicar o termo geral por $(-1)^{n+1}$, de forma a tornar esse termo sempre positivo.

$$\sum ^{\infty }\frac{20+( -1)^{n+1} n^{7}}{n^{10} +20n} =\sum ^{\infty }\frac{( -1)^{n+1} 20+( -1)^{2( n+1)} n^{7}}{n^{10} +20n} =\sum ^{\infty }\frac{n^{7} +( -1)^{n+1} 20}{n^{10} +20n}$$

A série de módulos é assim:

$$\sum ^{\infty }\frac{n^{7} +( -1)^{n+1} 20}{n^{10} +20n}$$

Utilizando o critério de comparação com a sucessão $\frac{n^7}{n^{10}}=\frac1{n^3}$, obtém-se:

$$\frac{\frac{n^{7}+(-1)^{n+1} 20}{n^{10}+20 n}}{\frac{n^{7}}{n^{10}}}=\frac{n^{7}+(-1)^{n+1} 20}{n^{7}} \cdot \frac{n^{10}}{n^{10}+20 n}=\frac{1+\frac{(-1)^{n+1} 20}{n^{7}}}{1+\frac{20}{n^{9}}} \longrightarrow 1 \in \mathbb{R}^{+}$$

Assim, a série de termo geral $\frac1{n^3}$ e a série dos módulos têm a mesma natureza.

Como $\sum\frac1{n^3}$ é uma série de Dirichlet com $\alpha=3>1$, é convergente e a série dos módulos também é convergente.

A série dada é, então, absolutamente convergente.

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Seja a série:

$$\sum ^{\infty }\left(\cos( n\pi )\frac{3^{n} n!}{n^{n}}\right)$$

O sinal do termo geral é dado por $\cos(n\pi)=(-1)^n$, pelo que se pode substituir esse termo por $1$, obtendo assim a série dos módulos:

$$\sum ^{\infty }\frac{3^{n} n!}{n^{n}}$$

Pelo critério de D'Alembert:

$$\frac{\frac{3^{n+1}(n+1) !}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{3^{n} n !}{n^{n}}}=\frac{3^{n+1}}{3^{n}} \cdot \frac{(n+1) n !}{n !} \cdot \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}(n+1)}=3\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=\\=\frac{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}} \longrightarrow \frac{3}{\mathrm{e}}>1$$

Assim, a série dos módulos é divergente.

Não é fácil saber se a série dada é ou não convergente. No entanto, como a divergência da série dos módulos foi assegurada pelo critério de D'Alembert, isso significa que a divergência se deve ao facto de o termo geral não ser um infinitésimo.

Logo, a série dada é divergente.

Critério de Leibnitz

Seja $a_n$ uma sucessão alternada, ou seja, uma sucessão que verifica $a_n\cdot a_{n+1}<0$, para $n>>$, tal que $|a_n|$ é um infinitésimo e decrescente, também para $n>>$. Então a série de termo geral $a_n$ converge.

Se uma sucessão:

• For alternadamente positiva e negativa
• O seu módulo é um infinitésimo
• O seu módulo é decrescente Então, a série dada por essa sucessão é simplesmente convergente.

📖 A demonstração deste critério encontra-se no PDF da aula 29, página 11.

Exemplos

Seja a série (série harmónica alternada):

$$\sum^\infin\frac{(-1)^n}n$$

A série dos módulos é claramente divergente, pois corresponde a uma série de Dirichlet com $\alpha=1\le1$

Sabendo que a série dos módulos é um infinitésimo ($\frac1n\to0)$ e é decrescente, pois:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac1n<0$$

Assim, pelo critério de Leibnitz, a série é convergente. Como a série de módulos diverge, a série dada é simplesmente convergente.

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Seja a série:

$$\sum^\infin\left(\frac1n+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right)$$

Como $n>\sqrt n\implies \frac1n<\frac1{\sqrt n}$ para $n>2$, o sinal é dado pelo termo $\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ , logo o módulo do termo geral pode ser obtido multiplicando o termo geral por $(-1)^n$:

$$\sum^\infin\left(\frac1{\sqrt n}+\frac{(-1)^n}n\right)$$

Pelo critério de comparação, com a série de termo geral $\frac1{\sqrt n}$:

$$\frac{\frac1{\sqrt n}+\frac{(-1)^n}{n}}{\frac1{\sqrt n}}=1+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\to1\in\R^+$$

Como a série $\sum\frac1{\sqrt n}$ é uma série de Dirichlet com $\alpha = \frac12 \le 1$, a série de módulos é divergente.

Não é fácil aplicar o critério de Leibnitz neste caso, pois não é fácil saber se o termo geral da série de módulos é decrescente.

No entanto, pode-se recorrer à natureza da soma de séries:

Sabemos que a série $\sum\frac{1}n$ é divergente, e também sabemos que a série $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ é convergente, pelo critério de Leibnitz.

Assim, como o termo geral da série dada é a soma dos termos gerais de uma série divergente e de uma série convergente, a série dada é divergente.

Majoração do erro pelo critério de Leibnitz

Se a série de termo geral $a_n$ tem o primeiro termo de ordem $p\in\Z$ e satisfaz as condições do critério de Leibnitz para $n\in\Z_p$ então

para qualquer $n\in\Z_p$, onde $(S_n)$ é a sucessão das somas parciais e $S\in\R$ a soma da série.

Permutação de termos e soma por blocos

Seja

uma série absolutamente convergente. Então:

• Qualquer série obtida a partir dessa série por permutação de termos, isto é, qualquer série de termo geral $u_{m_n}$ com $(m_n)$ uma bijeção do segmento terminal dos inteiros $\Z_p$ nele mesmo, é também absolutamente convergente e tem a mesma soma que a série de termo geral $u_n$.

• Qualquer série obtida a partir dessa série por soma por blocos, isto é, qualquer série de termo geral

  $$v_n=\sum^{m_{n+1}}_{k=m_n}u_k$$

  com $(m_n)$ uma sucessão estritamente crescente de inteiros tal que $m_1=p$, é também absolutamente convergente e tem a mesma soma que a série de termo geral $u_n$.

Estas propriedades correspondem a dizer que em somas infinitas absolutamente convergentes são válidas as propriedades comutativa e associativa da soma.

Teorema de Riemann

Seja $(a_n)$ o termo geral de uma série simplesmente convergente. Então, por permutação dos termos de $(a_n)$ pode construir-se uma série simplesmente convergente com qualquer soma que se pretenda ou mesmo uma série divergente.

Este resultado mostra o quão delicado é trabalhar com séries simplesmente convergentes, pois uma simples permutação da ordem por que se somam os termos da série pode mudar a soma da série, podendo, até, mudar-lhe a natureza.

A demonstração deste teorema encontra-se no PDF da aula 30, página 2.

Produto de Cauchy de duas sucessões

Sejam $(a_n)$ e $(b_n)$ duas sucessões.

Define-se o produto de Cauchy de $(a_n)$ por $(b_n)$ como sendo a sucessão de termo geral

Teorema de Mertens

Sejam

duas séries convergentes em que pelo menos uma delas é absolutamente convergente. Então, sendo $(c_n)$ o produto de Cauchy de $(a_n)$ por $(b_n)$, a série de termo geral $c_n$ é absolutamente convergente e tem-se

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PDFs

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