Série Numérica

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O PDF da aula 27, páginas 1-2 começa com um exemplo do Paradoxo de Zenão, que pode ajudar a perceber melhor o conceito de série.

Dada uma sucessão de números reais (un)(u_n), chama-se série de termo geral unu_n, e escreve-se

n=1un\sum^\infin_{n=1}u_n

à soma de todos os termos de (un)(u_n).

Se essa soma for finita (un)(u_n) diz-se somável e a série diz-se convergente, caso contrário a sucessão diz-se não somável e a série é divergente.

Quando a série é convergente, chama-se soma da série à soma de todos os termos de (un)(u_n).

Uma série não é nada mais nada menos do que a soma infinita de todos os termos de uma sucessão.

Como a dificuldade do estudo de uma série é proveniente de a soma ser de infinitos termos, considera-se assim as somas de um número finito de termos.

Sucessão de somas parciais de uma série

Seja (un)(u_n) uma sucessão de números reais. Chama-se sucessão das somas parciais da série de termo geral unu_n à sucessão cujo termo de ordem nn é dado por:

Sn=k=1nukS_n=\sum^n_{k=1}u_k

A série de termo geral unu_n é convergente se e só se (Sn)(S_n) é uma sucessão convergente. Nesse caso chama-se soma da série ao limite de (Sn)(S_n), o qual representa, naturalmente, a soma de todos os termos de (un)(u_n).

Assim, quando SnSRS_n\to S\in\R, a série converge e:

n=1un=S\sum^\infin_{n=1}u_n=S

Também de pode escrever o mesmo para R\overline\R, mas neste caso a série é divergente.

Define-se sucessão de somas parciais de uma série (Sn)(S_n) como uma sucessão em que cada termo é a soma até nn termos de (un)(u_n).

Por exemplo:

  • S2S_2 seria a soma dos dois primeiros termos de (un)(u_n): S2=u1+u2S_2=u_1+u_2.

Caso esta sucessão (Sn)(S_n) tenha limite finito, a série é convergente, e o limite corresponde à soma da série.

Natureza de uma série

Já se observou que uma série pode ser convergente ou divergente.

Os termos iniciais de uma série não alteram a sua natureza (porém alteram o valor da sua soma), logo podemos estudar o seu comportamento apenas para n>>n>>.

Fixando um pN+p\in\N^+:

Sn=k=1puk+k=p+1nukS_n=\sum^p_{k=1}u_k+\sum^n_{k=p+1}u_k

em que o primeiro termos é uma constante, para n>pn>p. Então, a sucessão converge, se e só se o segundo termo é uma sucessão convergente.

👉 Representação de série de termo geral unu_n: un\sum u_n.

Critérios de convergência

Condição necessária de convergência

Seja unu_n o termo geral de uma série convergente. Então, un0u_n\to0.

No entanto, isto é apenas uma condição necessária e não uma condição suficiente, logo não se pode concluir a convergência de uma série a partir do facto de o termo geral ser um infinitésimo.

Se uma série é convergente, então un0u_n\to0. Nada se pode concluir a partir de un0u_n\to0. No entanto, permite concluir que se o termo geral não é um infinitésimo, então a série diverge.

Exemplos
(1+1n)n\sum\left(1+\frac1n\right)^n

Como o termo geral tende para ee, a série é divergente.


cos(1n)\sum \cos\left(\frac{1}{n}\right)

Como o termo geral tende para 11, a série é divergente.


1n\sum\frac1n

Como o termo geral tende para 00 (infinitésimo), nada se pode concluir pelo critério acima.

Resto de Ordem nn

Seja (un)(u_n) uma sucessão de números reais somáveis. Chama-se resto de ordem nn da série de termo geral unu_n à sucessão cujo termo de ordem nn é dado por

rn=k=n+1ukr_n=\sum^\infin_{k=n+1}u_k

Se (un)(u_n) é somável, então, (rn)(r_n) é um infinitésimo.

Chama-se resto de ordem nn à diferença entre o valor da soma de uma série e o valor de SnS_n. Caso a série seja convergente, o resto tende para zero (infinitésimo).

Por exemplo:

  • Sendo S2=u1+u2S_2=u_1+u_2, então r2=u3+u4++un=k=3ukr_2=u_3+u_4+\dots+u_n = \sum^\infin_{k=3}u_k.

Soma de séries

Sejam αR\alpha\in\R e duas séries convergentes

n=1an en=1bn\sum^\infin_{n=1}a_n \quad\text{ e}\quad \sum^\infin_{n=1}b_n
  • A série soma das suas séries é a série convergente cujo termo geral é an+bna_n+b_n.
  • A série multiplicação da série de termo geral ana_n por α\alpha é a série convergente cujo termo geral é αan\alpha a_n.
  • O conjunto de séries convergentes é um espaço linear de dimensão infinita.

Como a natureza de uma série não depende dos primeiros termos, pode definir-se a série soma de, com p1p2p_1\ne p_2:

n=p1an en=p2bn\sum^\infin_{n=p_1}a_n \quad\text{ e}\quad \sum^\infin_{n=p_2}b_n

Supondo que p1<p2p_1<p_2, a série soma pode ser definida por:

n=p1p21an+n=p2(an+bn)\sum^{p_2-1}_{n=p_1}a_n +\sum^\infin_{n=p_2}(a_n+b_n)

👉 Apenas se pode realizar soma de séries entre séries convergentes.

As somas entres todas as outras séries não estão definidas, mas pode-se somar o termo geral para obter uma nova série, tal que:

  • A soma do termo geral de uma série convergente com o termo geral de uma série divergente é sempre o termo geral de uma série divergente.
  • A soma dos termo gerais de duas séries divergentes pode ser o termo geral de uma série convergente ou divergente.
Exemplos

Considerando as séries convergentes (porque são geométricas):

n=132nen=123n\sum ^{\infty }_{n=1} 3\cdot 2^{-n} \quad \text{e} \quad \sum ^{\infty }_{n=1} 2\cdot 3^{-n}

A soma destas duas séries é uma série convergente, de termo geral 6(2n1+3n1)6\left(2^{-n-1}+3^{-n-1}\right).


Considerando as seguintes séries, a primeira convergente e a segunda divergente.

n=132nen=1cos(1n)\sum ^{\infty }_{n=1} 3\cdot 2^{-n} \quad \text{e} \quad \sum ^{\infty }_{n=1}\cos\left(\frac{1}{n}\right)

A soma destas séries não está definida, mas sabe-se que a série de termo geral 32n+cos(1n){3\cdot 2^{-n}+\cos\left(\frac1n\right)} é uma série divergente.


Considerando as seguinte séries, ambas divergentes.

n=1[32n+cos(1n)]en=1cos(1n)\sum ^{\infty }_{n=1}\left[ 3\cdot 2^{-n} +\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right] \quad \text{e} \quad \sum ^{\infty }_{n=1} -\cos\left(\frac{1}{n}\right)

A soma destas séries não está definida, e não é imediato qual a natureza da série cujo termo geral é a soma dos termos gerais destas duas séries.

Podemos, no entanto, reconhecer que vai ser uma série convergente, porque a soma dos termos gerais vai ser 32n3\cdot 2^{-n}, cuja convergência da série já foi estudada.


Considerando as seguinte séries, ambas divergentes.

n=13cos(1n)en=1cos(1n)\sum ^{\infty }_{n=1} 3\cos\left(\frac{1}{n}\right) \quad \text{e} \quad \sum ^{\infty }_{n=1}\cos\left(\frac{1}{n}\right)

A soma destas séries não está definida, e não é imediato qual a natureza da série cujo termo geral é a soma dos termos gerais destas duas séries.

No entanto, podemos reparar que a soma dos termos gerais (4cos(1n)4\cos\left(\frac{1}{n}\right)) não é um infinitésimo, logo a série cujo termo geral é a soma dos termos gerais das duas séries acima, é divergente.

Série Geométrica

Define-se como série geométrica qualquer série da forma

n=p(Krn)\sum^\infin_{n=p}\left(K\cdot r^n\right)

com K,rRK,r\in\R.

Uma série geométrica é convergente se e só se r<1|r|<1 e, nesse caso, a soma da série dada é:

S=Krp1rS=\frac{K\cdot r^p}{1-r}
Exemplos
n=12n\sum^\infin_{n=1}2^n

É divergente, pois r>1|r|>1.


n=12×3n=n=12×(13)n\sum^\infin_{n=1}2\times3^{-n}=\sum^\infin_{n=1}2\times\left(\frac{1}{3}\right)^{n}

É convergente, pois r<1|r|<1, e a sua soma é S=2(13)1113=23×32=1S=\frac{2\cdot \left(\frac 13\right)^1}{1-\frac13}=\frac23\times\frac32=1.

Série de Mengoli

Uma série de Mengoli é uma série que tem uma das duas formas:

n=p(unun+1)oun=p(un+1un)\sum ^{\infty }_{n=p}( u_{n} -u_{n+1}) \quad \text{ou} \quad \sum ^{\infty }_{n=p}( u_{n+1} -u_{n})

e é convergente se e só se (un)(u_n) é uma sucessão convergente.

Nesse caso, a sua soma é S=uplimunS=u_p-\lim u_n para o primeiro caso e S=limunupS=\lim u_n-u_p para o segundo.

Exemplos
n=1(1n+51n+4)\sum ^{\infty }_{n=1}\left(\frac{1}{n+5} -\frac{1}{n+4}\right)

Logo, é uma série de Mengoli da forma

n=1(un+1un)comun=1n+4\sum ^{\infty }_{n=1}( u_{n+1} -u_{n}) \quad \text{com} \quad u_{n} =\frac{1}{n+4}

Como limun=0R\lim u_n=0\in\R, a série é convergente e a sua soma é:

u1=11+4=15S=015=15u_{1} =\frac{1}{1+4} =\frac{1}{5} \quad \quad S=0-\frac{1}{5} =-\frac{1}{5}

n=0(11+en11+en1)\sum ^{\infty }_{n=0}\left(\frac{1}{1+e^{-n}} -\frac{1}{1+e^{-n-1}}\right)

Logo, é uma série de Mengoli da forma

n=0(unun+1)comun=11+en\sum ^{\infty }_{n=0}( u_{n} -u_{n+1}) \quad \text{com} \quad u_{n} =\frac{1}{1+e^{-n}}

Como limun=1R\lim u_n=1\in\R, a série é convergente e a sua soma é:

u0=11+e0=12S=121=12u_{0} =\frac{1}{1+e^{0}} =\frac{1}{2} \quad \quad S=\frac{1}{2} -1=-\frac{1}{2}

n=1(sinnπ4sin(n+1)π4)\sum ^{\infty }_{n=1}\left(\sin\frac{n\pi }{4} -\sin\frac{( n+1) \pi }{4}\right)

Também é uma série de Mengoli da forma

n=1(unun+1)comun=sinnπ4\sum ^{\infty }_{n=1}( u_{n} -u_{n+1}) \quad \text{com} \quad u_{n} =\sin\frac{n\pi }{4}

No entanto, como a sucessão (un)(u_n) é divergente, a série é divergente.

Série Redutível

Diz-se que uma série é redutível se existem αR\{0}\alpha\in\R\backslash\{0\} e k,pN+k,p\in\N^+ tais que a série se pode escrever na forma

n=p[α(unun+k)]\sum ^{\infty }_{n=p}\left[ \alpha ( u_{n} -u_{n+k})\right]

A série é convergente se e só se a sucessão definida por

vn=j=0k1un+jv_n=\sum^{k-1}_{j=0}u_{n+j}

é uma sucessão convergente. Nesse caso, a soma da série é dada por

S=α(vplimvn)S=\alpha(v_p-\lim v_n)

Condição suficiente de convergência de uma série redutível

Como a condição de convergência não é muito fácil de verificar, usa-se o seguinte:

Se unLRu_n\to L\in\R, então a série redutível

n=p[α(unun+k)]\sum ^{\infty }_{n=p}\left[ \alpha ( u_{n} -u_{n+k})\right]

é convergente e a sua soma é

S=α(vpkL)S=\alpha(v_p-k\cdot L)
Exemplos
n=22n2+4n+3\sum ^{\infty }_{n=2}\frac{2}{n^{2} +4n+3}

Podemos usar a técnica adquirida na Primitivação de Funções Racionais para decompor o termo geral numa soma de frações mais simples.

2n2+4n+3=2(n+1)(n+3)=An+1+Bn+3A(n+3)+B(n+1)=2{A+B=03A+B=2{A=1B=12n2+4n+3=1n+11n+3\frac{2}{n^{2} +4n+3} =\frac{2}{( n+1)( n+3)} =\frac{A}{n+1} +\frac{B}{n+3}\\ \\ A( n+3) +B( n+1) =2\Leftrightarrow \begin{cases} A+B=0\\ 3A+B=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A=1\\ B=-1 \end{cases}\\ \\ \frac{2}{n^{2} +4n+3} =\frac{1}{n+1} -\frac{1}{n+3}

Então, a série pode ser escrita na forma:

n=2(1n+11n+3)\sum ^{\infty }_{n=2}\left(\frac{1}{n+1} -\frac{1}{n+3}\right)

Que não é de Mengoli, mas é quase, podendo somar e subtrair o termo 1n+2\frac1{n+2} para a transformar numa série de Mengoli:

n=2[(1n+1+1n+2)(1n+2+1n+3)]\sum ^{\infty }_{n=2}\left[\left(\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2}\right) -\left(\frac{1}{n+2} +\frac{1}{n+3}\right)\right]

Esta é uma série de Mengoli da forma:

n=2(unun+1)comun=1n+1+1n+2\sum ^{\infty }_{n=2}( u_{n} -u_{n+1}) \quad \text{com} \quad u_{n} =\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2}

Como un0Ru_n\to0\in\R, a série é convergente e a sua soma é

u2=12+1+12+2=13+14=712S=7120=712u_{2} =\frac{1}{2+1} +\frac{1}{2+2} =\frac{1}{3} +\frac{1}{4} =\frac{7}{12} \quad \quad S=\frac{7}{12} -0=\frac{7}{12}

Séries de Termos não Negativos

Resumo Critérios de Convergência

👉 Muitas vezes só se consegue estudar a convergência de uma série, não sendo possível determinar a sua soma.

  • A série é convergente se e só se a sucessão das somas parciais é convergente.
  • Se o termo geral da série não é um infinitésimo, a série é divergente.
  • Se o resto de ordem nn não é um infinitésimo, a série é divergente.
  • Se o termo geral da série é a soma de dois termos gerais de séries convergentes, a série é convergente.
  • Se o termo geral da série é a soma do termo geral de uma série convergente com o termo geral de uma série divergente, a série é divergente.
  • Se o termo geral é o produto de uma constante real pelo termo geral de uma série convergente, a série é convergente.
  • Se a série é geométrica, ela converge se e só se a sua razão tem módulo inferior a 1
  • Se o termo geral da série é da forma unun+1u_n-u_{n+1} a série converge se e só se (un)(u_n) é convergente.

Critério geral de comparação (CGC)

Se unu_n for não positivo, para n>>n>>, a série de termo geral un-u_n só tem termos não negativos, para n>>n>>, e tem a mesma natureza que a série de termo geral unu_n. Assim, a partir daqui, estudam-se apenas as séries de termos gerais não negativos, para n>>n>>.

Sejam (an)(a_n) e (bn)(b_n) duas sucessões de números reais tais que

0anbn,n>>0\le a_ n\le b_n\quad,\quad n>>
  • Se a série de termo geral ana_n for divergente, a série de termo geral bnb_n é divergente.
  • Se a série de termo geral bnb_n for convergente, a série de termo geral ana_n é convergente.

Seja (an)(a_n) e (bn)(b_n) tal que 0anbn,n>>0\le a_n\le b_n\quad,\quad n>>:

  • Série de ana_n é divergente     \impliesSérie de bnb_n é divergente
  • Série de bnb_n é convergente     \impliesSérie de ana_n é convergente
Exemplos

Seja a série:

1n!\sum ^{\infty }\frac{1}{n!}

Como 2n<<n!2^n<<n! pela escala de sucessões, têm-se 2nn!2^n\le n! para n>>n>>.

Então, para n>>n>>:

01n!12n=2n=(12)n0\leqslant \frac{1}{n!} \leqslant \frac{1}{2^{n}} =2^{-n} =\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

A série de termo geral 2n2^{-n} é uma série geométrica de razão 12\frac12, sendo convergente, e portanto, pelo CGC, a série de termo geral 1n!\frac{1}{n!} também é convergente.


Seja a série:

1n2\sum ^{\infty }\frac{1}{n^{2}}

Para n>1n>1, tem-se:

01n21n(n1)0\leqslant \frac{1}{n^{2}} \leqslant \frac{1}{n( n-1)}

Pela decomposição em funções simples:

1n(n1)=An+Bn11=A(n1)+Bnn=0 1=AA=1n=1 B=11n(n1)=1n11n\frac{1}{n( n-1)} =\frac{A}{n} +\frac{B}{n-1} \Leftrightarrow 1=A( n-1) +Bn\\\\\begin{aligned}n=0\Longrightarrow  & 1=-A\Leftrightarrow A=-1\\n=1\Longrightarrow  & B=1\end{aligned}\\\\\frac{1}{n( n-1)} =\frac{1}{n-1} -\frac{1}{n}

Então, a série é uma série de Mengoli convergente, do tipo

(unun+1)comun=1n0R\sum ^{\infty }( u_{n} -u_{n+1}) \quad \text{com} \quad u_{n} =\frac{1}{n}\rightarrow 0\in \mathbb{R}

Então, pelo CGC, a série de termo geral 1n2\frac1{n^2} também é convergente.


Seja a série:

1n\sum ^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}}

Para qualquer nN+n\in\N^+:

01n+1+n1n0\leqslant \frac{1}{\sqrt{n+1} +\sqrt{n}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}}

Por outro lado,

1n+1+n=n+1n(n+1)n=n+1n\frac{1}{\sqrt{n+1} +\sqrt{n}} =\frac{\sqrt{n+1} -\sqrt{n}}{( n+1) -n} =\sqrt{n+1} -\sqrt{n}

e a série de termo geral n+1n\sqrt{n+1}-\sqrt n é da forma:

(un+1un)comun=n+\sum ^{\infty }( u_{n+1} -u_{n}) \quad \text{com} \quad u_{n} =\sqrt{n}\rightarrow +\infty

Então, como a série de termo geral 1n+1+n\frac{1}{\sqrt{n+1} +\sqrt{n}} é divergente, pelo CGC, a série de termo geral 1n\frac1 {\sqrt n} também é divergente.

Critério de comparação (com recurso ao limite) (CC)

Sejam (an)(a_n) e (bn)(b_n) duas sucessões de números reais tais que, para n>>n>>, an0a_n\ge 0 e bn>0b_n>0.

Então, se

anbnLR+\frac{a_n}{b_n}\to L\in\R^+

as séries de termos gerais ana_n e bnb_n têm a mesma natureza.

Se anbnLR+\frac{a_n}{b_n}\to L\in\R^+, então as séries de termos gerais ana_n e bnb_n têm a mesma natureza (são ambas convergentes ou ambas divergentes)

Mesmo se o limite for 00 ou ++\infin, o critério pode permitir alguma conclusão, a partir do CGC, se a sucessão de comparação tiver a natureza apropriada para esse fim.

  • Se o limite de comparação é 00, então an<bna_n<b_n, para n>>n>>
  • Se o limite de comparação é ++\infin, então bn<anb_n<a_n, para n>>n>>
Exemplos

Seja a série:

sin1n\sum ^{\infty }\sin\frac{1}{\sqrt{n}}

Tem-se que:

sin1n1n1R+\frac{\sin\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}

Logo, as séries de termos gerais sin1n\sin\frac1{\sqrt n} e 1n\frac 1{\sqrt n} têm a mesma natureza. Logo, pelos exemplos anteriores, são ambas divergentes.


Seja a série:

(2nsin13n)\sum ^{\infty }\left( 2^{n}\sin\frac{1}{3^{n}}\right)

Tem-se que:

2nsin13n(23)n=sin13n13n1R+\frac{2^{n}\sin\frac{1}{3^{n}}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{n}} =\frac{\sin\frac{1}{3^{n}}}{\frac{1}{3^{n}}}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}

Como a série de termo geral (23)n\left(\frac23\right)^n é uma série geométrica de razão <1<1, é convergente, e então, a série dada é também convergente.


Seja a série:

2n2+1n4+1\sum ^{\infty }\frac{2n^{2} +1}{n^{4} +1}

Tem-se que:

2n2+1n4+11n2=2n4+n2n4+1=2+n21+n42R+\frac{\frac{2n^{2} +1}{n^{4} +1}}{\frac{1}{n^{2}}} =\frac{2n^{4} +n^{2}}{n^{4} +1} =\frac{2+n^{-2}}{1+n^{-4}}\rightarrow 2\in \mathbb{R}^{+}

Como a série de termo geral 1n2\frac1{n^2} é uma série convergente (como visto nos exemplos anteriores), então, a série dada é também convergente.


Seja a série:

2nn!n\sum ^{\infty }\frac{2-n}{n!n}

Esta série não está nas condições do teorema, pois os seus termos são negativos para n>2n>2, mas tem a mesma natureza que a série com o termo geral simétrico. Logo, estudamos a série:

n2n!n\sum ^{\infty }\frac{n-2}{n!n}

Tem-se que:

n2n!n1n!=n2n=12n1R+\frac{\frac{n-2}{n!n}}{\frac{1}{n!}} =\frac{n-2}{n} =1-\frac{2}{n}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}

Como a série de termo geral 1n!\frac1{n!} é uma série convergente (como visto nos exemplos anteriores), então, a série dada é também convergente.

Série de Dirichlet

Chama-se série de Dirichlet a qualquer série da forma

1nα,α R\sum^\infin\frac{1}{n^\alpha}\quad,\quad\alpha \in\ \R

A série acima converge se e só se α>1\alpha>1.

Usam-se estas séries como escolha para séries de comparação, quando o termo geral das sucessões dominantes são potências ou quando o termo geral se adequa ao uso de um limite notável (como por exemplo o do sin\sin).

Exemplos

Seja a série:

sin1n\sum ^{\infty }\sin\frac{1}{n}

Tem-se que:

sin1n1n1R+\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}

Como a série de termo geral 1n\frac1n é divergente (pois é de Dirichlet com α1\alpha \le 1), a série dada também é divergente.


Seja a série:

n2+n+12n7+2\sum ^{\infty }\frac{n^{2} +n+1}{2n^{7} +2}

Tem-se que, para n2n7=1n5\frac{n^2}{n^7}=\frac 1 {n^5} (visto que n2n^2 e n5n^5 são as sucessões dominantes do numerador e denominador, respetivamente):

n2+n+12n7+2n2n7=1+1n+1n22+2n712R+\frac{\frac{n^{2} +n+1}{2n^{7} +2}}{\frac{n^{2}}{n^{7}}} =\frac{1+\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{2}{n^{7}}}\rightarrow \frac{1}{2} \in \mathbb{R}^{+}

Como a série de termo geral 1n5\frac1{n^5} é convergente (pois é de Dirichlet com α>1\alpha > 1), a série dada também é convergente.


Seja a série:

(n2+13n2+3n3)\sum ^{\infty }\left(\sqrt[3]{n^{2} +1} -\sqrt[3]{n^{2} +3n}\right)

Esta série não está nas condições do teorema, pois todos os seus termos são negativos, mas tem a mesma natureza que a série com o termo geral simétrico. Logo, estudamos a série:

(n2+3n3n2+13)\sum ^{\infty }\left(\sqrt[3]{n^{2} +3n} -\sqrt[3]{n^{2} +1}\right)

Como a sucessão dominante dentro de ambas as raízes é a mesma, tem-se de recorrer ao "conjugado":

n2+3n3n2+13=3n1(n2+3n)23+(n2+3n)(n2+1)3+(n2+1)23\sqrt[3]{n^{2} +3n} -\sqrt[3]{n^{2} +1} =\frac{3n-1}{\sqrt[3]{\left( n^{2} +3n\right)^{2}} +\sqrt[3]{\left( n^{2} +3n\right)\left( n^{2} +1\right)} +\sqrt[3]{\left( n^{2} +1\right)^{2}}}

Como a dominante do numerador é nn e a do denominador é n43n^{\frac43}, compara-se a série dada com o termo geral nn43=1n13\frac{n}{n^{\frac43}}=\frac1{n^{\frac13}}:

3n1(n2+3n)23+(n2+3n)(n2+1)3+(n2+1)23nn43=31n(1+3n)23+(1+3n)(1+1n2)3+(1+1n2)231R+\frac{\frac{3n-1}{\sqrt[3]{\left( n^{2} +3n\right)^{2}} +\sqrt[3]{\left( n^{2} +3n\right)\left( n^{2} +1\right)} +\sqrt[3]{\left( n^{2} +1\right)^{2}}}}{\frac{n}{n^{\frac{4}{3}}}} =\\\frac{3-\frac{1}{n}}{\sqrt[3]{\left( 1+\frac{3}{n}\right)^{2}} +\sqrt[3]{\left( 1+\frac{3}{n}\right)\left( 1+\frac{1}{n^{2}}\right)} +\sqrt[3]{\left( 1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{2}}}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}

Como a série de comparação é de Dirichlet com α1\alpha\le 1, são ambas divergentes.

Critério da razão

Seja (an)(a_n) uma sucessão de números reais positivos. Então,

  • Se an+1anR<1\frac{a_{n+1}}{a_n}\le R<1, para n>>n>>, então a série de termo geral ana_n converge.
  • Se an+1an1\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1, para n>>n>>, então a série de termo geral ana_n diverge.

Este é um critério mais teórico, usado para chegar ao Critério de D'Alembert (definido abaixo). A explicação encontra-se no PDF da aula 28, página 9.

Critério de D'Alembert

Seja (an)(a_n) uma sucessão de números reais positivos tal que existe, em R\overline\R, o limite:

liman+1an=LR0+{+}\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}} =L\in \mathbb{R}^{+}_{0} \cup \{+\infty \}
  • Se L>1L>1, a série de termo geral ana_n diverge
  • Se L<1L<1, a série de termo geral ana_n converge
  • Se L=1L=1, nada se pode concluir

Este critério é normalmente utilizado para séries cujos termos gerais envolvem exponenciais e/ou fatoriais, ou quando o termo geral está definido por recorrência.

Quando, pelo critério de D'Alembert, se conclui que a série diverge (L>1)(L>1), isto deve-se ao facto de a série não ser um infinitésimo.

Exemplos
(n!)2(2n)!\sum ^{\infty }\frac{( n!)^{2}}{( 2n) !}

Calculando o limite auxiliar do critério de D'Alembert:

an+1an=((n+1)!)2(2n+2)!(n!)2(2n)! =((n+1)!)2(n!)2(2n)!(2n+2)! =(n+1)2(n!)2(n!)2(2n)!(2n+2)(2n+1)(2n)! =(n+1)22(n+1)(2n+1) =n+14n+2 =1+1n4+2n14<1\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} & =\frac{\frac{(( n+1) !)^{2}}{( 2n+2) !}}{\frac{( n!)^{2}}{( 2n) !}}\\ & =\frac{(( n+1) !)^{2}}{( n!)^{2}} \cdot \frac{( 2n) !}{( 2n+2) !}\\ & =\frac{( n+1)^{2}( n!)^{2}}{( n!)^{2}} \cdot \frac{( 2n) !}{( 2n+2)( 2n+1)( 2n) !}\\ & =\frac{( n+1)^{2}}{2( n+1)( 2n+1)}\\ & =\frac{n+1}{4n+2}\\ & =\frac{1+\frac{1}{n}}{4+\frac{2}{n}}\rightarrow \frac{1}{4} < 1\end{aligned}

Logo a série dada é convergente pelo critério de D'Alembert.


Seja a série:

2nn!nn\sum^\infin \frac{2^nn!}{n^n}

Calculando o limite auxiliar do critério de D'Alembert:

an+1an=2n+1(n+1)!(n+1)n+12nn!nn =2n+12n (n+1)!n!nn(n+1)n+1 =2(n+1)n!n!nn(n+1)n(n+1) =2(n+1)nn(n+1)n(n+1) =2(nn+1)n =2(11+1n)n =21(1+1n)n2e<1\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} & =\frac{\frac{2^{n+1}( n+1) !}{( n+1)^{n+1}}}{\frac{2^{n} n!}{n^{n}}}\\ & =\frac{2^{n+1}}{2^{n}} \cdot \ \frac{( n+1) !}{n!} \cdot \frac{n^{n}}{( n+1)^{n+1}}\\ & =2\cdot \frac{( n+1) n!}{n!} \cdot \frac{n^{n}}{( n+1)^{n} \cdot ( n+1)}\\ & =2\cdot \frac{( n+1) \cdot n^{n}}{( n+1)^{n} \cdot ( n+1)}\\ & =2\cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\\ & =2\cdot \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n}\\ & =2\cdot \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\rightarrow \frac{2}{e} < 1\end{aligned}

Logo a série dada é convergente pelo critério de D'Alembert.

Critério da raiz

👉 Não frequentemente utilizado. É usado para chegar ao Critério da Raiz de Cauchy (abaixo).

Seja (an)(a_n) uma sucessão de termos positivos, então:

  • Se annR<1\sqrt[n]{a_n}\le R < 1 para n>>n>>, a série de termo geral ana_n é convergente.
  • Se ann1\sqrt[n]{a_n}\ge 1 para infinitos termos, a série de termo geral ana_n diverge.

Critério da raiz de Cauchy

Seja (an)(a_n) uma sucessão de números reais positivos tal que annL\sqrt[n]{a_n}\to L. Então:

  • Se L<1L<1 a série de termo geral ana_n é convergente.
  • Se L>1L>1 a série de termo geral ana_n é divergente.

Se L=1L=1 mas ann>1\sqrt[n]{a_n}> 1 para n>>n>> (isto é, ann1+\sqrt[n]{a_n}\to 1^+), a série diverge.

Exemplos

Seja a série:

(3n+(2)n4n)\sum ^{\infty }\left(\frac{3^{n} +( -2)^{n}}{4^{n}}\right)
3n+(2)n4nn=(34)n[1+(24×43)n]n=341+(23)nn34<1\sqrt[n]{\frac{3^{n} +( -2)^{n}}{4^{n}}} =\sqrt[n]{\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\left[ 1+\left( -\frac{2}{4} \times \frac{4}{3}\right)^{n}\right]} =\frac{3}{4}\sqrt[n]{1+\left( -\frac{2}{3}\right)^{n}}\rightarrow \frac{3}{4} < 1

Pelo critério da raiz de Cauchy, a série é convergente.


Seja a série:

(1±1n)n2\sum ^{\infty }\left( 1\pm \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}
(1±1n)n2n=(1±1n)n=e±1\sqrt[n]{\left( 1\pm \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}} =\left( 1\pm \frac{1}{n}\right)^{n} =e^{\pm 1}

Pelo critério da raiz de Cauchy, conclui-se que:

  • Com o sinal ++, a série diverge, pois e>1e>1.
  • Com o sinal -, a série converge, pois e1<1e^{-1}<1.

Outro critério

Este critério (sem nome), é útil para séries com termos gerais do tipo 1nαlogβn\frac{1}{n^\alpha \log^\beta n}.

Seja (an)(a_n) uma sucessão decrescente e positiva. Então as séries de termos gerais ana_n e 2na2n2^na_{2^n} têm a mesma natureza.

Se o termo geral é decrescente e positivo, podemos "substituir nn por 2n2^n e multiplicar tudo por 2n2^n", mantendo a natureza da série.

Este critério pode ser utilizado na obtenção da natureza das séries de Dirichlet.

Exemplo

Seja a série:

1nlog2n\sum ^{\infty }\frac{1}{n\log^{2} n}

Como nn e log2n\log^2n são termos gerais de sucessões crescentes, o termo geral da série dada é decrescente. É também positivo para todo o nN+n\in\N^+, n2n\ge2.

Então, a série dada tem a mesma natureza que a série de termo geral:

2n2nlog2(2n)=1log2(2n)=1(nlog2)2=1(log22)n2\frac{2^{n}}{2^{n}\log^{2}\left( 2^{n}\right)} =\frac{1}{\log^{2}\left( 2^{n}\right)} =\frac{1}{( n\log 2)^{2}} =\frac{1}{\left(\log^{2} 2\right) n^{2}}

Logo, como a série com o termo geral obtido corresponde a uma série de Dirichlet (que se sabe ter com α>1\alpha>1) com uma constante, a série dada é convergente.

Critério do integral

Seja ff uma função decrescente e positiva e (un)(u_n) uma sucessão tal que un=f(n)u_n=f(n), para n>>n>>. Então, a série de termo geral unu_n converge se e só se existir e for finito o limite

limx+pxf(t) dt\lim _{x\rightarrow +\infty }\int ^{x}_{p} f( t) \ \mathrm{d} t

para algum pRp\in\R.

Exemplos de estudo da natureza de séries

Abaixo seguem-se alguns exemplos do estudo da natureza de séries, utilizando vários critérios simultaneamente.

Exemplos

Seja a série:

n3n!+5nn5n!+nn+n9\sum ^{\infty }\frac{n^{3} n!+5^{n}}{n^{5} n!+n^{n} +n^{9}}

Começa-se por utilizar o critério de comparação para simplificar o termo geral.

No numerador, é simples encontrar a sucessão dominante (n3n!)(n^3n!), pois:

5n<<n!<<n3n!5^n<<n!<<n^3n!

No denominador, é necessário calcular um limite auxiliar, pois pela escala básica apenas se pode concluir:

n9<<n!<<n5n!en9<<nnn^9<<n!<<n^5n!\quad\text e\quad n^9<<n^n
(n+1)5(n+1)!(n+1)n+1n5n!nn=(n+1n)5×(n+1)n!n!×nn(n+1)n(n+1) =(1+1n)5×(nn+1)n =(1+1n)5×1(1+1n)n1×1e=1e<1\begin{aligned}\frac{\frac{( n+1)^{5}( n+1) !}{( n+1)^{n+1}}}{\frac{n^{5} n!}{n^{n}}} & =\left(\frac{n+1}{n}\right)^{5} \times \frac{( n+1) n!}{n!} \times \frac{n^{n}}{( n+1)^{n}( n+1)}\\ & =\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{5} \times \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\\ & =\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{5} \times \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\rightarrow 1\times \frac{1}{e} =\frac{1}{e} < 1\end{aligned}

Assim, podemos concluir que n5n!<<nnn^5n!<<n^n.

Usando agora o critério de comparação, comparando o termo geral dado com n3n!nn\frac{n^3n!}{n^n}.

n3n!+5nn5n!+nn+n9n3n!nn=1+5nn3n!n5n!nn+1+n9nn1R+\frac{\frac{n^{3} n!+5^{n}}{n^{5} n!+n^{n} +n^{9}}}{\frac{n^{3} n!}{n^{n}}} =\frac{1+\frac{5^{n}}{n^{3} n!}}{\frac{n^{5} n!}{n^{n}} +1+\frac{n^{9}}{n^{n}}}\rightarrow 1\in \mathbb{R}^{+}

Logo, as séries de termos gerais n3n!+5nn5n!+nn+n9\frac{n^{3} n!+5^{n}}{n^{5} n!+n^{n} +n^{9}} e n3n!nn\frac{n^3n!}{n^n} têm a mesma natureza.

Então, usa-se agora o critério de D'Alembert para determinar a natureza da série.

(n+1)3(n+1)!(n+1)n+1n3n!nn= (bastante semelhante ao limite acima) =(1+1n)3×1(1+1n)n1×1e=1e<1\begin{aligned}\frac{\frac{( n+1)^{3}( n+1) !}{( n+1)^{n+1}}}{\frac{n^{3} n!}{n^{n}}} & =\dotsc \ \text{(bastante semelhante ao limite acima)}\\ & =\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{3} \times \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\rightarrow 1\times \frac{1}{e} =\frac{1}{e} < 1\end{aligned}