Variedades, Espaço Tangente e Normal

Variedades

Um conjunto é uma variedade de dimm\dim m se em torno de qualquer ponto posso descrever a variedade como o gráfico de uma função (C1C^1) de mm variáveis.

DEFINIÇÃO

MRnM \subset \R^n é uma variedade diferenciável de dimensão mm se aM\forall a \in M existe uma vizinhança na qual MM é o gráfico de uma função f:URmRnmf: U\subset \R^m \to \R^{n - m} de classe C1C^1.

Tomando como exemplo os seguintes conjuntos:

  1. M={(x,y)R2:x2+y2=1}M= \{(x,y) \in \R^2: x^2+y^2=1\}

Representação do Conjunto 1

É variedade de dimensão 1.

  1. M={(x,y,z)R3:x2+y2+z2=1}M = \{(x,y,z) \in \R^3: x^2+y^2+z^2 = 1\}

Representação do Conjunto 2

É variedade de dimensão 2.

  1. M={(x,y,z)R3:x2+y2=z2}M= \{(x,y,z) \in \R^3: x^2 + y^2 = z^2\}

Representação do Conjunto 3

Não é variedade.

Na origem não é possível escrever nenhuma variável em função das outras duas, pois tem um "bico".

  1. M={(x,y,z)R3:z=x+y}M = \{(x,y,z) \in \R^3: z=x+y\} que corresponde a um plano.
    Logo, qualquer ponto é definido por z=f(x,y)=x+yz=f(x,y) = x+y.
    Então, temos uma variedade de dimensão 2.

Relação com o Teorema da Função Implícita

Se considerarmos um conjunto de nível:

M={xRn:F(x)=0}F:RnRnmC1\begin{array}{lll} M = \{x \in \R^n: F(x) = 0\} & F: \R^n \to \R^{n-m} & C^1 \end{array}

Então, MM é variedade de dim m\dim\ m se aM\forall a \in M for possível aplicar o Teorema da Função Implícita com mm variáveis independentes.

Basta encontrar mm variáveis para as quais detDF0    caracterıˊstica maˊxima nm\det DF \ne 0 \implies \text{característica máxima}~n - m.

TEOREMA

O conjunto de nível é uma variedade de dim m\dim\ m se DFDF tem sempre característica máxima.

Exemplos

Considerando

M={x2+y2=1}={F(x,y)=x2+y21=0},FC1M=\{x^2+y^2 = 1\} = \{F(x,y) = x^2+y^2-1=0\}, F \in C^1
DF=[2x2y]DF = \begin{bmatrix} 2x & 2y \end{bmatrix}

Quando carDF1\car DF \ne 1, então x,y=0x,y = 0. No entanto, este ponto não pertence ao conjunto.

Logo, carDF\car DF é máxima em qualquer ponto do conjunto e MM é variedade de dimensão 11.


Considerando

M={x2+y2+z2=N}=F(x,y,z)=x2+y2+z2N=0,FC1M = \{ x^2+y^2 + z^2 = N \} = {F(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-N = 0}, F \in C^1
DF=[2x2y2z]DF = \begin{bmatrix} 2x & 2y & 2z \end{bmatrix}

Quando carDF\car DF não é máxima (neste caso, 1), então x,y,z=0x,y,z=0. No entanto, este ponto não pertence ao conjunto.

Logo, DFDF tem sempre característica máxima para qualquer ponto do conjunto e MM é uma variedade de dim31=2\dim 3-1 = 2.


Considerando

M={x2+y2z2=0}M = \{x^2+y^2-z^2 = 0\}

isto é, um cone.

DF=[2x2y2z]DF = \begin{bmatrix} 2x & 2y & -2z \end{bmatrix}

Então, quando car=0\car = 0, significa que x,y,z=0x,y,z=0.

Como este ponto pertence ao conjunto, MM não é uma variedade.


Considerando

A={(x,y,z)R3:x2+y2+z2=1,x+yz=0}A = \{(x,y,z) \in \R^3: x^2+y^2+z^2 = 1, x+y-z=0 \}

Então, podemos escrever a função:

F(x,y,z)=(x2+y2+z21,x+yz)F:R3R2\begin{array}{ll} F(x,y,z) = (x^2+y^2+z^2-1, x+y-z) & F: \R^3 \to \R^2 \end{array}

A matriz DFDF desta função é:

DF(x,y,z)=[2x2y2z111]DF(x,y,z) = \begin{bmatrix} 2x & 2y & 2z\\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}

Pelo que:

  • car=0\car = 0 é impossível de obtermos
  • car=1\car = 1 quando a linha de cima é múltipla da de baixo
(2x,2y,2z)=λ(1,1,1)(2x, 2y, 2z) = \lambda (1, 1, -1)
x=λ2y=λ2z=λ2\begin{array}{lll} x=\frac{\lambda}{2} & y=\frac{\lambda}{2} & z=-\frac{\lambda}{2} \end{array}

Substituindo no conjunto:

{(λ2)2+(λ2)2+(λ2)2=1λ2+λ2+λ2=0{λ=00=1impossıˊvel\begin{cases} \left(\frac{\lambda}{2} \right)^2 + \left(\frac{\lambda}{2} \right)^2 + \left(\frac{\lambda}{2} \right)^2 = 1\\ \frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda}{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda = 0\\ 0 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \text{impossível}

Então, o ponto (λ2,λ2,λ2)(\frac{\lambda}{2},\frac{\lambda}{2},\frac{\lambda}{2}) nunca pertence ao conjunto AA.

Logo, x,y,zA\forall x,y,z \in A, carDF(x,y,z)=2\car DF(x,y,z) = 2

AA é uma variedade de dim32=1\dim 3 -2 = 1.

AA é uma curva em R3\R^3

Parametrização

DEFINIÇÃO

Seja MM uma variedade de dimmRn\dim m \subset R^n.
Uma parametrização é uma função g:VMg: V \to M, em que:

  • VRmV \in \R^m aberto
  • gC1g \in C^1
  • gg é injetiva
  • DgDg tem as colunas linearmente independentes

Pode não ser possível parametrizar de uma só vez toda a variedade.

Como exemplo, temos o seguinte conjunto (circunferência de raio 1):

A sua parametrização é g(t)=(cost,sint),t]0,2π[g(t) = (\cos t, \sin t), t \in ]0, 2\pi[.

Exemplos

Seja fC1f \in C^1 em ]a,b[]a,b[ e

M={(x,y)R2:y=f(x)}R2M = \{(x,y) \in \R^2: y = f(x)\} \subset \R^2

Podemos então descrever este conjunto pela função gg:

g(t)=(t,f(t)),t]a,b[g(t) = (t, f(t)), t \in ]a,b[

Será que gg é parametrização?

  • gg é C1C^1 porque ttt \in t é C1C^1 e fC1f \in C^1

  • será que gg é injetiva?

    g(t1)=g(t2)(t1,f(t1))=(t2,f(t2))t1=t2g(t_1) = g(t_2) \Leftrightarrow (t_1, f(t_1)) = (t_2, f(t_2)) \Rightarrow t_1 = t_2 Então é injetiva

  • Dg(t)=[1f(t)]Dg(t) = \begin{bmatrix}1\\f'(t)\end{bmatrix}
    DgDg tem 1 coluna linearmente independente

Logo, gg é uma parametrização de MM.


Considerando

P={(x,y,z)R3,z=x2+y2,z<1}P = \{(x,y,z) \in \R^3, z=x^2+y^2, z <1\}

Sabemos que PP é o gráfico de f(x,y)=x2+y2f(x,y) = x^2+y^2, para x2+y2<1x^2+y^2 < 1

Então podemos escrever a função gg como parametrização de PP:

g(x,y)=(x,y,f(x,y)),x2+y2<1g(x,y) = (x,y,f(x,y)), \quad x^2+y^2 < 1

Outra parametrização possível, é usar as coordenadas cilíndricas:

{x=rcosθy=rsinθz=z\begin{cases} x = r \cos \theta\\ y = r \sin \theta\\ z = z \end{cases}
  • z=r2z = r^2

Então obtemos:

g(r,θ)=(rcosθ,rsinθ,r2),r]0,1],θ]0,2π[g(r,\theta) = (r \cos \theta, r \sin \theta, r^2), \quad r \in ]0, 1], \theta \in ]0, 2\pi[


Considerando

M={(x,y)R2:x>0,x2+y2=1}M = \{(x,y) \in \R^2 : x>0, x^2+y^2=1 \}

variedade de dim1\dim 1, que representa um semi-circulo.

Como x>0    x=1y2x >0 \implies x=\sqrt{1-y^2}, podemos obter a parametrização:

g(y)=(1y2,y)g:]1,1[M\begin{array}{ll} g(y) = (\sqrt{1-y^2}, y) & g : ]-1, 1[ \to M \end{array}

Verificando agora as condições da parametrização:

  • gC1g \in C^1
  • gg é injetiva
    g(y1)=g(y2)    (y12,y1)=(1y22,y2)    y1=y2g(y_1) = g(y_2) \implies (\sqrt{y^2_1}, y_1) = (\sqrt{1-y^2_2}, y_2) \implies y_1=y_2
  • Dg(y)=[y1y21]Dg(y)= \begin{bmatrix} -\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} \\ 1\end{bmatrix} tem uma coluna linearmente independente

Alternativamente, podemos usar coordenadas polares:

g(θ)=(cosθ,sinθ)θ]π2,π2[\begin{array}{ll} g(\theta) = (\cos \theta, \sin \theta) & \theta \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \end{array}

Verificando novamente as condições da parametrização:

  • gC1g \in C^1
  • gg é injetiva
  • Dg(θ)=[sinθcosθ]Dg(\theta) = \begin{bmatrix} - \sin \theta \\ \cos \theta \end{bmatrix}
    DgDg não tem colunas linearmente independentes quando sinθ,cosθ=0\sin \theta, \cos \theta = 0
    Impossível em MM porque sin2θ+cos2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

Logo, gg é uma parametrização de MM.


Considerando

M={(x,y,z):x2+y2+z2=1,z>0}M = \{(x,y,z): x^2+y^2+z^2 = 1, z > 0\}

Utilizando as coordenadas esféricas, com r=1r=1, podemos obter a seguinte parametrização:

g(θ,φ)=(cosθsinφ,sinθsinφ,cosφ)θ]0,2π[,φ]0,π2[\begin{array}{ll} g(\theta, \varphi) = (\cos \theta \sin \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \varphi) & \theta \in \left]0, 2\pi\right[, \varphi \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ \end{array}
  • gC1g \in C^1

  • gg é injetiva

  • DgDg tem duas colunas linearmente opostas:

    Dg(θ,φ)=[sinθsinφcosθcosφcosθsinφsinθcosφ0sinφ]Dg(\theta, \varphi) = \begin{bmatrix} \smartcolor{blue}{-\sin \theta \sin \varphi} & \cos \theta \cos \varphi\\ \smartcolor{blue}{\cos \theta \sin \varphi} & \sin \theta \cos \varphi\\ 0 & \smartcolor{orange}{-\sin \varphi} \end{bmatrix}

    Em φ]0,π2[\varphi \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, temos que sinφ<0\smartcolor{orange}{-\sin \varphi} < 0

    Também temos que

    {sinθsinφ=0cosθsinφ=0sinθ,cosθ=0\begin{cases} \smartcolor{blue}{-\sin \theta \sin \varphi} = 0\\ \smartcolor{blue}{\cos \theta \sin \varphi} = 0 \end{cases} \Rightarrow \sin\theta, \cos\theta = 0

    que é impossível em MM, pois sin2θ+cos2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.

Logo, gg é uma parametrização de MM.


Considerando

M={(x,y,z)R3:x2+y2+z2=1,x=y}M = \{(x,y,z) \in \R^3: x^2+y^2+z^2 = 1, x = y \}

que se sabe ser uma variedade de dim1\dim 1.

Podemos substituir yy por xx, obtendo assim a equação 2x2+z2=1(2x)2+z2=12x^2+z^2=1 \Leftrightarrow (\sqrt{2} x)^2+z^2 = 1, correspondente a uma elipse.

Podemos agora aplicar coordenadas cilíndricas modificadas:

{2x=cosθz=sinθ{x=12cosθz=sinθ\begin{cases} \sqrt{2} x = \cos \theta\\ z = \sin \theta \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta\\ z = \sin \theta \end{cases}

Como x=yx = y, então y=12cosθy = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta.

Obtemos assim a parametrização:

g(θ)=(12cosθ,12cosθ,sinθ)θ]0,2π[\begin{array}{ll} g(\theta) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta, \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta, \sin \theta\right) & \theta \in ]0, 2\pi[ \end{array}

Espaço Tangente e Espaço Normal

DEFINIÇÃO

MM variedade de dimmRn\dim m \subset \R^n, vRnv \in \R^n, aMa \in M

vv é tangente a MM no ponto aa se existir um caminho γ\gamma em MM com γ(0)=a\gamma (0) = a e γ(0)=v\gamma'(0) = v.

Espaço Tangente a MM no ponto aa

TaM={vetores tangentes a M no ponto a}T_aM = \{\text{vetores tangentes a } M \text{ no ponto } a\}

é espaço vetorial de dimensão mm.

Espaço Normal a MM no ponto aa

(TaM)={vetores perpendiculares a TaM}(T_aM)^\perp = \{\text{vetores perpendiculares a } T_aM\}

é espaço vetorial de dimensão nmn-m.

Pode-se facilmente obter o espaço normal através da matriz jacobiana DFDF, visto que cada linha da matriz é um vetor perpendicular ao caminho γ\gamma num ponto aa.

Vejamos um exemplo:

Considerando o conjunto S={(x,y,z)R3:z=x4+y3}S = \{(x,y,z) \in \R^3: z = x^4+y^3\} e o ponto a=(1,1,2)a = (1,1,2), e sabendo que SS é variedade de dim2\dim 2.

Podemos escrever o seguinte:

S={(x,y,z)R3:F=x4+y3z=0}FC1\begin{array}{ll} S = \{(x,y,z) \in \R^3: F = x^4 +y^3 - z = 0\} & F \in C^1 \end{array}
DF(x,y,z)=[4x33y21]DF(x,y,z) = \begin{bmatrix} 4x^3 & 3y^2 & -1 \end{bmatrix}
DF(1,1,2)=[431]DF(1,1,2) = \begin{bmatrix} 4 & 3 & -1 \end{bmatrix}
(T(1,1,2)S)=L{(4,3,1)} que eˊ uma reta(T_{(1,1,2)}S)^{\perp} = \mathcal{L} \{(4,3,-1)\}\ \text{que é uma reta}
(x,y,z)T(1,1,2)S:(x,y,z)(4,3,1)=04x+3yz=0 (um plano)(x,y,z) \in T_{(1,1,2)}S: (x,y,z) \cdot (4,3,-1) = 0 \Leftrightarrow 4x+3y-z=0\ \text{(um plano)}

Escolhendo assim dois pontos distintos pertencentes ao plano:

T(1,1,2)S=L{(1,1,1),(0,1,3)}T_{(1,1,2)} S = \mathcal{L} \{(1,-1,1), (0,1,3)\}
Mais Exemplos

Considerando agora o conjunto LL:

L={(x,y,z)R3:z=x4+y,x+y+z=6}L = \{(x,y,z) \in \R^3: z=x^4+y, x+y+z=6\}

Será que é variedade? Se sim, qual a sua dimensão? Qual o espaço tangente e normal no ponto (1,2,3)(1,2,3)?

Comecemos por escrever o conjunto na forma de conjunto de nível:

F(x,y,z)=(x4+yz,x+y+z6)L={(x,y,z)R3:F=(0,0)}\begin{array}{c} F(x,y,z) = (x^4+y-z, x+y+z-6)\\ L=\{(x,y,z) \in \R^3: F=(0,0)\} \end{array}

Calculando agora a jacobiana de FF:

DF(x,y,z)=[4x311111]DF(x,y,z) = \begin{bmatrix} 4x^3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

DFDF tem (sempre) característica 2.

Logo LL é variedade de dim32=1\dim 3 - 2 = 1 (que corresponde a uma curva)

Tomando agora a jacobiana no ponto a=(1,2,3)a = (1,2,3),

DF(1,2,3)=[411111]DF (1,2,3) = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

Ficamos assim a saber o seu espaço normal:

(T(1,2,3)L)=L{(4,1,1),(1,1,1)}(T_{(1,2,3)}L)^{\perp} = \mathcal{L} \{(4,1,-1), (1,1,1)\}

Qual o valor de T(1,2,3)LT_{(1,2,3)}L?

(x,y,z)T(1,2,3)L{(x,y,z)(4,1,1)=0(x,y,z)(1,1,1)=0{4x+yz=0x+y+z=0{5x+2y=03x2z=0\begin{aligned} (x,y,z) \in T_{(1,2,3)}L &\Leftrightarrow \begin{cases} (x,y,z) \cdot (4,1,-1) = 0\\ (x,y,z) \cdot (1,1,1) = 0 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow \begin{cases} 4x+y-z=0\\ x+y+z=0 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow \begin{cases} 5x+2y=0\\ 3x-2z = 0 \end{cases} \end{aligned}

Podemos escolher qualquer ponto que satisfaça o sistema acima, por exemplo: (1,52,32)(1, -\frac{5}{2}, \frac{3}{2})

T(1,2,3)L=L{(1,52,32)}T_{(1,2,3)}L = \mathcal{L}\left\{\left(1,-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)\right\}

Obter Espaço Tangente e Normal a partir da parametrização

Suponhamos que gg, g:VMg: V \to M, é parametrização de M={F=0}M = \{F = 0\} e que g(t0)=ag(t_0) = a.

As colunas de Dg(t0)Dg(t_0) pertencem ao espaço tangente, pelo que

TaM=L{colunas de Dg(t0)}T_aM = \mathcal{L} \{\text{colunas de}\ Dg(t_0)\}
Demonstração
0=F(g(t))    0=D(F(g(t)))=DF(g(t))Dg(t)0=F(g(t)) \implies 0 = D(F(g(t))) = DF(g(t))\cdot Dg(t)

Quando t=t0t=t_0, temos DF(a)Dg(t0)=0DF(a) \cdot Dg(t_0)=0, então as linhas de DF(a)DF(a) geram o espaço normal, pelo que as colunas de Dg(t0)Dg(t_0) pertencem ao espaço tangente.

Exemplo

Considerando

P={(x,y,z)R3:z=x2+y2,z<1}P = \{(x,y,z) \in \R^3: z = x^2+y^2, z < 1\}

Escrevendo a sua parametrização, recorrendo às coordenadas cilíndricas:

g(ρ,θ)=(ρcosθ,ρsinθ,ρ2)g(\rho, \theta) = (\rho \cos \theta, \rho \sin \theta, \rho^2)

Qual o espaço tangente e normal em (12,12,12)(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},\frac{1}{2})?

  • ρ2=12    ρ=22\rho^2 = \frac{1}{2} \implies \rho = \frac{\sqrt{2}}{2}

  • {ρcosθ=12ρsinθ=12{cosθ=22sinθ=22θ=π4\begin{cases} \rho \cos \theta = \frac{1}{2}\\ \rho \sin \theta = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}

Logo g(22,π4)=(12,12,12)g\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).

Dg(ρ,θ)=[cosθρsinθsinθρcosθ2ρ0]Dg(\rho, \theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\rho \sin \theta\\ \sin \theta & \rho \cos \theta\\ 2\rho & 0 \end{bmatrix}

No ponto (22,π4)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{4}\right):

Dg(22,π4)=[2212221220]Dg\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{4}\right) = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2}\\ \sqrt{2} & 0 \end{bmatrix}

Temos assim o espaço tangente:

T(12,12,12)P=L{(22,22,2),(12,12,0)}T_{(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},\frac{1}{2})}P= \mathcal{L} \left\{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}\right), \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)\right\}

Para calcular o espaço normal, fazemos:

{(x,y,z)(22,22,2)=0(x,y,z)(12,12,0)=0{22x+22y+2z=012x+12y=0{x+y+2z=0x=y{x=zx=y\begin{darray}{cc} \begin{cases} (x,y,z)\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}\right) = 0\\ (x,y,z)\cdot\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y + \sqrt{2} z = 0\\ -\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = 0 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} x+y+2z = 0\\ x = y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -z\\ x = y \end{cases} \end{darray}

Escolhendo um ponto que satisfaça esta condição, por exemplo (1,1,1)(1,1,-1), temos que:

(T(12,12,12)P)=L(1,1,1)\left(T_{(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},\frac{1}{2})}P\right)^{\perp}= \mathcal{L} {(1,1,-1)}

Slides: