Sucessões

DEFINIÇÃO

  • Sucessão limitada: O conjunto dos seus termos é limitado, isto é, é uma sucessão majorada e minorada.
  • Sucessão monótona: Quando uma sucessão é (estritamente) crescente ou (estritamente) decrescente. Por outras palavras, quando un+1unu_{n+1}\ge u_n ou un+1unu_{n+1}\le u_n, respetivamente.

Operações com sucessões

Podemos efetuar as seguintes operações com sucessões:

  • multiplicar por um escalar
  • somar e subtrair duas sucessões
  • multiplicar duas sucessões
  • dividir duas sucessões (com atenção de que o denominador nunca pode ser zero).

Também podemos, para uma sucessão unu_n real positiva, αQ\alpha\in\mathbb Q e {vn}Q\{v_n\}\subset\mathbb Q, efetuar (un)α(u_n)^\alpha e (un)vn(u_n)^{v_n}.

Sub-sucessões

Seja (unu_n) uma sucessão de números reais e (mnm_n) uma sucessão estritamente crescente de números naturais positivos. Chama-se à sucessão de termo geral vn=umnv_n = u_{m_n} uma sub-sucessão de (unu_n).

Exemplo 1
un=1+(1)nu2n=2u2n1=0u_n=1+(-1)^n\\ u_{2n}=2\\ u_{2n-1}=0
Exemplo 2
un=cos(2nπ3) u3n=cos(2nπ)=1u3n+1=cos(2nπ+2π3)=12u3n+2=cos(2nπ+4π3)=12u_n=\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)\\ \text{ } \\ u_{3n}=\cos\left(2n\pi\right)=1\\ u_{3n+1}=\cos\left(2n\pi+\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\\ u_{3n+2}=\cos\left(2n\pi+\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}

Utiliza-se as sub-sucessões para conseguir mais facilmente estudar uma sucessão, devido às seguintes propriedades:

  • Qualquer sub-sucessão de uma sucessão limitada é também limitada.
  • Qualquer sub-sucessão de uma sucessão monótona tem a mesma monotonia que a sucessão original.
  • Se uma família de sub-sucessões de uma mesma sub-sucessão é tal que a reunião dos seus termos é igual ao conjunto dos termos da sucessão original então se todas as sub-sucessões dessa família forem limitadas a sucessão original também o é.
  • Se duas sub-sucessões de uma mesma sucessão tiverem monotonias diferentes a sucessão original não é monótona. O mesmo se pode concluir se qualquer sub-sucessão da sucessão original não for monótona, evidentemente.

Existência de sub-sucessões monótonas para qualquer sucessão

TEOREMA

Existência de sub-sucessões monótonas para qualquer sucessão
Seja (unu_n) uma sucessão de números reais, então (unu_n) tem, pelo menos, uma sub-sucessão monótona (isto é, crescente ou decrescente)

Por exemplo, a sucessão un=n(1)nu_n=n\cdot(-1)^n não é monótona (é alternadamente positiva e negativa).
No entanto, as sub-sucessões

u2n=2n(1)2n=2neu2n1=(2n1)(1)2n1=2n+1\begin{array}{ccc} u_{2n}=2n\cdot (-1)^{2n}=2n &\text{e}& u_{2n-1}=(2n-1)\cdot (-1)^{2n-1}=-2n+1 \end{array}

são, respetivamente, crescente e decrescente.
É sempre possível encontrar uma sub-sucessão que seja monótona. A justificação para tal encontra-se no PDF em anexo (aula 4).

Sub-sucessões monótonas de uma sucessão

É também importante relembrar que uma sucessão constante (e.g. un=1u_n=1) também é monótona.

Sucessão convergente

Uma sucessão convergente é uma sucessão em que existe limite. Por outras palavras, significa que para uma ordem nn suficientemente grande (ou seja, n+n → +\infin ou n>>n>>), existe uma vizinhança para qualquer r>0r>0 a que pertencem os termos de unu_n.

r>0, unVr(a),n>>Caso a condic¸a˜o seja verdadeira:limun=a\forall _{r>0},\text{ }u_n\in V_r(a), n>>\\ \text{Caso a condição seja verdadeira:} \lim u_n=a

Qualquer sucessão que não seja convergente é divergente.

É também fácil de perceber que uma sucessão constante un=Ku_n=K, é convergente.

Exemplo

Considerando a sucessão un=1n,nN+u_n=\frac{1}{n}, n\in \mathbb N^+, podemos provar que é convergente:

unVr(0)vn0<r1n<rn>0r>0n>1ru_n \in V_r(0) \Leftrightarrow |v_n-0|<r\Leftrightarrow \frac 1 n < r \underbrace\Leftrightarrow _{n>0 \land r>0} n>\frac 1 r

Então,

pN+:p>1r\exist p\in \mathbb N^+: p>\frac 1 r

Logo, para qualquer n>pn>p tem-se 1n<r\frac 1 n < r.

Infinitésimo: Diz-se que uma sucessão (unu_n) é um infinitésimo se un0u_n → 0

TEOREMA

Limitação das sucessões convergentes
Seja (unu_n) uma sucessão convergente, então (unu_n) é limitada.
Atenção que o contrário nem sempre se verifica.

Comportamento da relação de ordem na passagem ao limite: Sejam (unu_n) e (vnv_n) duas sucessões convergentes, tem-se:

  • Se limun<limvn\lim u_n<\lim v_n então un<vnu_n<v_n para n>>n>>
  • Se unvnu_n\le v_n para n>>n>> então limunlimvn\lim u_n\le \lim v_n
  • Se un<vnu_n<v_n para n>>n>> então limunlimvn\lim u_n \le \lim v_n

Esta última propriedade pode-se exemplificar através das seguintes sucessões, representadas no gráfico:

un=1nu_n=\frac{1}{n} e vn=13nv_n=\frac{1}{3n}

Convergência de sub-sucessões

Podemos intuitivamente perceber que un>vn,nN+u_n>v_n,\forall n\in \mathbb N^+. No entanto, ambas as sucessões tendem para zero, isto é, limun=limvn=0\lim u_n = \lim v_n = 0.

TEOREMA

Convergência das sub-sucessões das sucessões convergentes
Seja (unu_n) uma sucessão convergente, então qualquer sub-sucessão de (unu_n) é convergente para limun\lim u_n.

DEFINIÇÃO

Sublimite de uma sucessão
Diz-se que aa é um sublimite de (unu_n) se existe uma sub-sucessão de (unu_n), (umnu_{m_n}), tal que umn au_{m_n}\rightarrow~a.

De acordo com esta última definição:

  • Se existir uma sub-sucessão nas condições da definição, existe um número infinito delas
  • Qualquer sucessão convergente só tem um sublimite (que é o limite da sucessão)

TEOREMA

Convergência das sucessões monótonas e limitadas
Seja (unu_n) uma sucessão de números reais que é monótona e é limitada, então (unu_n) é convergente.

Propriedades operatórias com limites

Assumindo que unau_n →a e vnbv_n→b :

  • lim(un±vn)=a±b\lim (u_n \pm v_n)=a\pm b
  • lim(un×vn)=a×b\lim (u_n \times v_n)=a\times b
  • lim(unvn)=ab\lim (\frac {u_n} {v_n})=\frac a b (ver exceções na página 7 do PDF da aula 4 em anexo)
  • limun=alimun=a\lim u_n = a \Rightarrow \lim |u_n|=|a|
  • limunvn=ab\lim u_n^{v_n}=a^b, sendo que aR+a\in\mathbb R^+ e bRb\in\mathbb R

Sucessões definidas por recorrência

Uma sucessão pode estar definida sem ser pelo seu termo geral unu_n.

Outra forma de definir uma sucessão é por recorrência. Por exemplo:

{u1=1un+1=un+32,nN+\begin{cases} u_1=1\\ u_{n+1}=\frac{u_n+3}2&,&n\in\mathbb N^+ \end{cases}

Nestas sucessões não é tão fácil determinar a sua monotonia, se é convergente ou não e, consequentemente, o seu limite. Nestes casos é importante recorrer à Indução Matemática.

Vejamos como determinar a monotonia da sucessão acima. Começamos ver os valores de u1u_1 e u2u_2, de forma a percebermos se a sucessão irá ser crescente ou decrescente.

u1=1u2=u1+32=2\begin{aligned} u_1=1&&u_2=\frac{u_1+3}2=2 \end{aligned}

Logo, se a sucessão for monótona, terá de ser crescente. Indo agora para a indução matemática, começamos por averiguar a base:

u2>u12>1 Proposic¸a˜o verdadeirau_2>u_1\Leftrightarrow 2>1 \rightarrow \text{ Proposição verdadeira}

A etapa de indução é:

un+1>unun+2>un+1 un+1>unun+1+3>un+3un+1+32>un+32un+2>un+1u_{n+1}>u_n\Rightarrow u_{n+2}>u_{n+1}\\ \text{ }\\ u_{n+1}>u_n\Rightarrow u_{n+1}+3>u_n+3\Rightarrow \frac{u_{n+1}+3}2>\frac{u_n+3}2\Rightarrow u_{n+2}>u_{n+1}

Logo, podemos concluir que a sucessão é estritamente crescente.

Para descobrirmos se a sucessão é convergente apenas precisamos de descobrir se é majorada, visto que é crescente. No entanto, como a sucessão está definida por recorrência, podemos tentar "adivinhar" um valor para a qual esta seja majorada. Conseguimos intuitivamente perceber que un<3u_n<3. Como tal, podemos recorrer à indução matemática para o provar:

u1<31<3 un<3un+1<3un<3un+3<3+3un+32<62un+1<3u_1<3\Leftrightarrow 1<3\\\text{ }\\ u_n<3\Rightarrow u_{n+1}<3\\ u_n<3\Rightarrow u_n+3<3+3 \Rightarrow \frac{u_n+3}{2}<\frac{6}{2}\Rightarrow u_{n+1}<3

Logo, como a condição se prova para a base e é hereditária, conseguimos comprovar que a sucessão é majorada, logo é convergente. Infelizmente, isto não nos permite determinar limun\lim u_n. No entanto, ao saber que a sucessão é convergente, podemos usar um método que nos permite descobrir limun\lim u_n.

Como sabemos que (un+1u_{n+1}) é uma sub-sucessão de (unu_n) e que limun=limun+1=a\lim u_n = \lim u_{n+1}=a, podemos obter o valor de aa:

limun+1=limun+32a=a+322a=a+3a=3limun=limun+1=3\lim u_{n+1}=\lim \frac{u_n+3}2\Leftrightarrow a=\frac{a+3}2\Leftrightarrow 2a=a+3\Leftrightarrow a=3\\ \lim u_n=\lim u_{n+1}=3

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Teorema

Teorema de Bolzano-Weierstrass
Seja (unu_n) uma sucessão limitada, então (unu_n) tem pelo menos uma sub-sucessão convergente.

É fácil provar isto, se, tal como definido anteriormente, pensarmos que qualquer sucessão tem, pelo menos, uma sucessão monótona. Ora, se uma sucessão é monótona e limitada, então é convergente.

Teorema das Sucessões Enquadradas

Teorema

Teorema das Sucessões Enquadradas (TSE)
Sejam (unu_n), (vnv_n) e (wnw_n) sucessões de números reais tais que unvnwnu_n\le v_n \le w_n para n>>n>>, e unau_n\rightarrow a e wnaw_n \rightarrow a, para algum aRa\in\mathbb R, então vnav_n\rightarrow a.

Exemplos do uso do teorema

Pretende-se descobrir o limite da sucessão un=sinnnu_n=\frac{\sin n}n

1sinn11nsinnn1n, nN+-1\le\sin n\le1\Rightarrow -\frac 1 n\le \frac{\sin n}n \le\frac 1 n,\text{ }n\in\mathbb N^+

Como 1n-\frac 1 n e 1n\frac 1 n são infinitésimos, isto é, tendem para zero, podemos concluir que un0u_n\rightarrow 0.

Teorema

Corolário do Teorema das Sucessões Enquadradas
Qualquer produto de uma sucessão limitada por um infinitésimo é um infinitésimo.

Aplicação do TSE a sucessões definidas por somatórios

Seja

un=k=1nk2+1n4+4k4u_n=\sum ^n _{k=1}\frac{k^2+1}{n^4+4k^4}

queremos determinar o limite desta sucessão.

Para tal, comecemos por construir o enquadramento da sucessão. Para tal, vamos utilizar a expressão no interior do somatório. Dado que, para qualquer kN+k\in\mathbb N^+ tal que 1kn1\le k \le n, se tem:

12+1Substituir k por 1n4+4n4Substituir k por nk2+1n4+4k4n2+1Substituir k por nn4+4×14Substituir k por 125n4k2+1n4+4k4n2+1n4+4\frac {\overbrace{1^2+1}^{\text{Substituir }k\text{ por }1}} {\underbrace{n^4+4n^4}_{\text{Substituir }k\text{ por }n}}\le\frac{k^2+1}{n^4+4k^4}\le\frac{\overbrace{n^2+1}^{\text{Substituir }k\text{ por }n}}{\underbrace{n^4+4\times 1^4}_{\text{Substituir }k\text{ por }1}}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \frac2{5n^4}\le\frac{k^2+1}{n^4+4k^4}\le\frac{n^2+1}{n^4+4}

Podemos agora continuar a "construir" o enquadramento, adicionando os somatórios:

k=1n25n4k=1nk2+1n4+4k4k=1nn2+1n4+4k=1n25n4unk=1nn2+1n4+4\sum^n_{k=1}\frac2{5n^4}\le\sum^n_{k=1}\frac{k^2+1}{n^4+4k^4}\le\sum^n_{k=1}\frac{n^2+1}{n^4+4}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \sum^n_{k=1}\frac2{5n^4}\le u_n\le\sum^n_{k=1}\frac{n^2+1}{n^4+4}

Como o valor de um somatório k=1n\sum^n_{k=1} em que a expressão no seu "interior" não contenha kk é nn vezes a expressão no seu "interior", temos que:

n×25n4unn×n2+1n4+425n3unn3+nn4+4n\times\frac2{5n^4}\le u_n\le n\times\frac{n^2+1}{n^4+4}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \frac2{5n^3}\le u_n\le \frac{n^3+n}{n^4+4}

Podemos agora determinar o limite de ambas as sucessões:

25n325×03=0n3+nn4+41n+1n31+4n4=0+01+0=0\frac2{5n^3}\rightarrow \frac2 5\times 0^3=0\\ \frac{n^3+n}{n^4+4}\rightarrow \frac{\frac1 n+\frac1 {n^3}}{1+\frac4 {n^4}}=\frac{0+0}{1+0}=0

Logo, pelo Teorema das Sucessões Enquadradas, un0u_n\rightarrow0.

Sucessão de Cauchy

Definição

Sucessão de Cauchy
Seja (unu_n) uma sucessão de números reais, diz-se que (unu_n) é uma sucessão de Cauchy se, para qualquer real positivo rR+r\in\mathbb R^+, unum<r|u_n-u_m|<r para n,m>>n,m>>.

Por outras palavras, isto significa que, para uma ordem nn e mm infinitamente grandes, o módulo da diferença entre os termos unu_n e umu_m deverá ser arbitrariamente pequena.

Teorema

Convergência das sucessões de Cauchy
Seja (unu_n) uma sucessão de números reais, então (unu_n) é convergente se e só se é uma sucessão de Cauchy.

No PDF da Aula 5 em anexo, páginas 8-9, encontra-se um exemplo de como averiguar se uma sucessão é uma sucessão de Cauchy.

Sucessão contrativa

Definição

Sucessão contrativa
Seja (unu_n) uma sucessão de números reais, diz-se que (unu_n) é contrativa se existir uma constante C]0,1[C\in]0,1[ tal que:

un+1unCunun1, para n>>|u_{n+1}-u_n|\le C|u_n-u_{n-1}| \text{, para } n>>

Outra maneira mais simples de definir uma sucessão contrativa é dizer que, a partir de certa ordem (n>>n>>), a distância entre dois termos consecutivos diminui com uma taxa de contração não superior a CC, tornando-se assim, muito pequena.

Teorema

Convergência das sucessões contrativas
Seja (unu_n) uma sucessão contrativa de números reais, então (unu_n) é convergente.

Verificar se uma sucessão é contrativa

Tomemos como exemplo a sucessão

{u1=4un+1=un+20\begin{cases} u_1=-4\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+20} \end{cases}

Atendendo à definição de sucessão contrativa, podemos escrever o seguinte:

un+1un=un+20un1+20=un+20un1+20×un+20+un1+20un+20+un1+20=un+20(un1+20)un+20+un1+20=unun1un+20+un1+20\begin{aligned} |u_{n+1}-u_n| &= |\sqrt{u_n+20}-\sqrt{u_{n-1}+20}|\\ &=\frac{|\sqrt{u_n+20}-\sqrt{u_{n-1}+20}|\times|\sqrt{u_n+20}+\sqrt{u_{n-1}+20}|}{\sqrt{u_n+20}+\sqrt{u_{n-1}+20}}\\ &=\frac{|u_n+20-(u_{n-1}+20)|}{\sqrt{u_n+20}+\sqrt{u_{n-1}+20}}\\ &=\frac{|u_n-u_{n-1}|}{\sqrt{u_n+20}+\sqrt{u_{n-1}+20}} \end{aligned}

Sabemos que para n>2n>2, un0u_n\ge 0, de acordo com a sua expressão. Logo, conseguimos deduzir que un+20+un1+2020+20\sqrt{u_n+20}+\sqrt{u_{n-1}+20}\ge\sqrt{20}+\sqrt{20} (relembro que ao inverter, o sinal da inequação se altera). Daqui vem que:

unun1un+20+un1+20unun120+20un+1un1220unun1un+1un520unun1\begin{darray}{c} \frac{|u_n-u_{n-1}|}{\sqrt{u_n+20}+\sqrt{u_{n-1}+20}}\le\frac{|u_n-u_{n-1}|}{\sqrt{20}+\sqrt{20}}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow|u_{n+1}-u_n|\le\frac1 {2\sqrt{20}}|u_n-u_{n-1}|\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow|u_{n+1}-u_n|\le\frac{\sqrt 5} {20}|u_n-u_{n-1}| \end{darray}

Logo, como C=520]0,1[C=\frac{\sqrt5}{20}\in]0, 1[, a sucessão é contrativa, sendo consecutivamente convergente.

Como é convergente, podemos dizer que se unaRu_n\rightarrow a\in\mathbb R então un+1au_{n+1}\rightarrow a, pois trata-se de uma sub-sucessão. Podemos assim determinar o limite da sucessão:

limun=limun+1a=a+20a2a20=0a=5a=4\lim u_n=\lim u_{n+1}\Leftrightarrow a=\sqrt{a+20}\Leftrightarrow a^2-a-20=0\Leftrightarrow a=5\lor a=-4

Como sabemos que a sucessão só tem termos positivos para n>>n>>, podemos concluir que limun=5\lim u_n=5.


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