Norma. Topologia em Rⁿ

Diferença entre pontos e vetores

Em dim>1\dim > 1, convém distinguir pontos de vetores. Podemos pensar em vetores como diferenças entre pontos. Por exemplo:

P=(x,y,z)Q=(x,y,z)v=QP=(xx,yy,zz)P=( x,y,z) \quad Q=( x',y',z')\\ \vec{v} =Q-P=( x'-x,y'-y,z'-z)

tip

Se tivermos um ponto PP, também podemos pensar nele como um vetor, fazendo a diferença desse ponto com a origem.

v=PO=(x0,y0,z0)=(x,y,z)\vec{v} =P-O=(x-0,y-0,z-0)=(x,y,z)

Funções escalares e Funções vetoriais

Função escalar: O seu contra domínio é um valor unidimensional (R\subset \R)

Exemplos
h:R2Rh(x,y)=x22x+1+y2j(x,y)=h(x,y)=(x1)2+(y0)2\begin{array}{ c } \begin{array}{l} h:\mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}\\ h( x,y) =x^{2} -2x+1+y^{2} \end{array}\\ \\ j(x,y)=\sqrt{h(x,y)} =\sqrt{(x-1)^{2} +(y-0)^{2}} \end{array}

Função vetorial: O seu contra domínio é um vetor de dimensão igual ou superior a 2 (RN,N>1\subset \R^N, N>1)
Uma função vetorial é do tipo F: D RnRmF:\ D\ \subseteq \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}^{m} com m>1m>1. Se m=1m=1, a função é escalar. O valor de nn é qualquer (pode ser 1, por exemplo), só interessa o contra domínio.

Exemplo
F(x,y)=(h(x,y),j(x,y))\vec F(x,y)=\left(h(x,y), j(x,y)\right)

O gráfico de esta função teria 4 dimensões (2 do domínio + 2 do contra domínio)-

Norma

Anteriormente, foi definido a distância entre dois pontos.

Podemos agora estender esta notação/terminologia para vetores, através da definição (muito semelhante) de norma. A norma consiste em medir comprimento de vetores. Caso o vetor não esteja na origem, basta fazer a sua "translação" para a origem.

x=(x1,x2,,xn)x=x12+x22++xN2ou mais rigorosamente,:RnR0+v=(v1,,vN)v12+v22++vN2x=(x_1,x_2,\dotsc,x_n)\\ ||x|| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+\dotsc +x_N^2}\\ \text{ou mais rigorosamente,}\\ \begin{array}{ c r c l } ||\dotsc ||: & \mathbb{R}^{n} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{+}_{0}\\ & \vec{v} =( v_{1} ,\dotsc ,v_{N}) & \longrightarrow & \sqrt{v^{2}_{1} +v^{2}_{2} +\dotsc +v^{2}_{N}} \end{array}

Propriedades da Norma

  1. x0||x|| \geq 0 (é sempre positiva)

  2. Multiplicação por um escalar: λx=λx||\lambda x|| = |\lambda |\cdot ||x||mult-escalar

  3. Desigualdade Triangular: x+yx+y||x+y|| \leqslant ||x||+||y||

Produto interno

Sendo x,yRnx,y\in \R^n, o produto interno entre estes dois vetores está definido por:

xy=x1y1+x2y2++xnynx\cdot y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \dotsc + x_n y_n

Assim, encontra-se uma relação entre a norma e o produto interno: x=x12+x22++xn2=xx||x|| = \sqrt{x^2_1+x^2_2+\dotsc+x^2_n}=\sqrt{x\cdot x}

Distâncias centradas num ponto

Em R\R, dado aR,rR+a\in\R, r\in \R^+, tem-se:

Vr(a)={xR:xa<r}V_r(a)=\{x\in\R:|x-a|<r\}

Bola

Em duas ou mais dimensões, dá-se o nome de bola de centro aa e raio rr ao conjunto de pontos que estão a uma distância inferior a rr de um ponto aa,

Em R2\R^2, dado a=(a1,a2)R2,rR+a = (a_1,a_2)\in \R^2, r\in\R^+, tem-se:

Br(a)={(x,y)R2:(x,y)(a1,a2)<r}B_r(a)=\{(x,y)\in\R^2: ||(x,y)-(a_1,a_2)||<r\}

Em R3\R^3, dado a=(a1,a2,a3)R3,rR+a = (a_1,a_2,a_3)\in \R^3, r\in\R^+, tem-se:

Br(a)={xR3:xa<r}B_r(a)=\{x\in\R^3: ||x-a||<r\}

Caso Geral

Em RN\R^N, dado a=(a1,a2,,an)RN,rR+a = (a_1,a_2,\dotsc, a_n)\in \R^N, r\in\R^+, tem-se:

Br(a)={xRN:xa<r}B_r(a)=\{x\in\R^N: ||x-a||<r\}

Topologia em Rⁿ

Para definirmos as noções topológicas em Rn\R^n, precisamos do conceito de norma.
Pode ser também relevante relembrar as noções topológicas a CDI-I.

Tomando como exemplo o conjunto K={(x,y)R2:0x10y<1}K=\left\{(x,y)\in\R^2:0\leq x \leq 1 \land 0\leq y < 1\right\}, representado na figura, podemos tirar as seguintes conclusões.

warning

Por ter gerado alguma confusão, o conjunto DD abaixo é um conjunto "genérico".
Como exemplo específico, toma-se o conjunto KK, representado na figura.

  • aa é interior a D: r>0:Br(a)D\exists r >0:B_{r}( a) \subset D - e.g. ponto PP em relação ao conjunto KK
  • aa é exterior a D: r>0:Br(a)Dc\exists r >0:B_{r}( a) \subset D^cd-complementar - e.g. ponto SS em relação ao conjunto KK
  • aa é aderente a D: r>0:Br(a)D\forall r >0:B_{r}( a) \cap D \ne \empty - e.g. ponto RR em relação ao conjunto KK
  • aa é fronteiro a D: r>0:Br(a)DBr(a)Dc\forall r >0:B_{r}( a) \cap D \ne \empty \land B_r(a)\cap D^c \ne \empty - e.g. ponto RR em relação ao conjunto KK

Então, podemos definir os seguintes conjuntos:

  • intD={pontos interiores a D}\operatorname{int} D=\left\{\text{pontos interiores a } D\right\}
  • extD={pontos exteriores a D}\operatorname{ext} D=\left\{\text{pontos exteriores a } D\right\}
  • D={pontos aderentes a D}=intDD\overline D=\left\{\text{pontos aderentes a } D\right\} = \operatorname{int} D \cup \partial D
  • D={pontos fronteiros a D}\partial D=\left\{\text{pontos fronteiros a } D\right\}

Também podemos concluir que intDDD\operatorname{int} D \subset D \subset \overline D.

Conjunto aberto, fechado, limitado e compacto

  • DD diz-se aberto se D=intDD=\operatorname{int} D
  • DD diz-se fechado se D=DD=\overline D
  • DD diz-se limitado se r>0:DBr(0)\exists r > 0: D \subset B_r(\vec 0)
  • DD diz-se compacto se for fechado e limitado
Exemplo 1

Imaginando o conjunto D={(x,y,z)R3:x2+y2<1z>0}D=\left\{( x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} :x^{2} +y^{2} < 1\land z >0\right\}, correspondente a um cilindro que tem como base o círculo no plano z=0z=0, com raio 1 e centro na origem, e como eixo o semi eixo positivo OzOz.

  • Como D=intDD=\operatorname{int} D, DD é aberto.
  • extD={(x,y,z)R3:(x2+y2>1z0)z<0}\operatorname{ext} D = \left\{( x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} :\left( x^{2} +y^{2} >1\land z\geqslant 0\right) \lor z< 0\right\}
  • D={(x,y,z)R3:(x2+y2=1z>0)(x2+y2<1z=0)}\partial D=\left\{( x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} :\left( x^{2} +y^{2} =1\land z >0\right) \lor \left( x^{2} +y^{2} < 1\land z=0\right)\right\}
  • DD\overline D \ne D, então DD não é fechado.
  • DD não é limitado portanto também não é compacto
Exemplo 2

Imaginando o conjunto D={(x,y)R2:0x1y=0}D=\left\{( x,y) \in \mathbb{R}^{2} :0\leqslant x\leqslant 1\land y=0\right\}, que em R2\R^2 corresponde a um segmento de reta entre (0,0)(0,0) e (1,0)(1,0).

Ao contrário do que tínhamos em R\R, aqui não existe "interior" desta "região", visto que estamos em duas dimensões.

  • intD=\operatorname{int} D = \empty
  • extD=R2\D=R2\D\operatorname{ext} D= \R^2 \backslash \overline D = \R^2 \backslash D
  • D\partial D = D
  • D=intDD=D\overline D = \operatorname{int} D \cup \partial D = D. Como DD é fechado e limitado, então é compacto.

Slides:


  1. λx=(λx1,λx2,,λxN)=(λx1)2++(λxN)2=λ2(x12++xN2)=λ2x12++xN2=λx\begin{aligned} ||\lambda x|| & =||( \lambda x_{1} ,\lambda x_{2} ,\dotsc ,\lambda x_{N}) ||=\sqrt{( \lambda x_{1})^{2} +\dotsc +( \lambda x_{N})^{2}} =\sqrt{\lambda ^{2}\left( x^{2}_{1} +\dotsc +x^{2}_{N}\right)}\\ & =\sqrt{\lambda ^{2}}\sqrt{x^{2}_{1} +\dotsc +x^{2}_{N}} =|\lambda |\cdot ||x|| \end{aligned}

  2. DcD^c é o complementar de DD