Aplicações do Integral

Além da determinação do volume n-dimensional de um sólido, podemos usar o integral para calcular a massa de sólidos, o centro de massa e centroide, o momento de inércia em relação a um eixo, entre outros.

Massa de Sólidos

Se tivermos um sólido SS, em R3\R^3 e uma função ff que representa a densidade de massa do sólido SS, então podemos calcular a massa de SS através de:

Massa de S=Sf\text{Massa de }S = \int_S f
Exemplos

Seja VV um sólido

V={(x,y,z)R3:x2+y21,x2+y2z3x2y2}V = \{(x,y,z) \in \R^3: x^2+y^2\leq 1, x^2+y^2 \leq z \leq 3-x^2-y^2 \}

e a função ff, densidade de massa de VV,

f(x,y,z)=z2f(x,y,z) = z^2

Qual a massa de VV?

Vz2 ⁣dx ⁣dy ⁣dz\int_V z^2 \d x \d y \d z

VV é sólido de revolução em torno do eixo dos zz.

Então, transformando em coordenadas cilíndricas,

{x=rcosθy=rsinθz=z\begin{cases} x = r \cos \theta\\ y = r \sin \theta\\ z = z \end{cases}
r21,r2z3r2θ]0,2π[,0r1\begin{array}{l l l} r^2 \leq 1 & , & r^2 \leq z \leq 3 - r^2\\ \theta \in ]0, 2\pi [ & , & 0 \leq r \leq 1 \end{array}
Massa=0102πr23r2z2r ⁣dz ⁣dθ ⁣dr=0102π[z33r]r=r2z=3r2 ⁣dθ ⁣dr=0102π((3r2)33rr63r) ⁣dθ ⁣dr=2π01((3r2)32×3(2r)r73) ⁣dr=2π[(3r2)42×3×4r83×8]01=2π((1624124)8124)=2π6424\begin{aligned} \text{Massa} &= \int^1_0 \int^{2\pi}_0 \int^{3-r^2}_{r^2} z^2 \cdot r \d z \d \theta \d r\\ &= \int^1_0 \int^{2\pi}_0 \left[\frac{z^3}{3} \cdot r \right]^{z=3-r^2}_{r=r^2} \d \theta \d r\\ &= \int^1_0 \int^{2\pi}_0 \left(\frac{(3-r^2)^3}{3} \cdot r - \frac{r^6}{3} \cdot r \right) \d \theta \d r\\ &= 2\pi \int^1_0 \left(\frac{(3-r^2)^3}{-2\times 3} \cdot (-2r) - \frac{r^7}{3} \right) \d r\\ &= 2\pi \left[\frac{(3-r^2)^4}{-2\times 3 \times 4} - \frac{r^8}{3 \times 8} \right]^1_0\\ &= 2\pi \left(\left(-\frac{16}{24} - \frac{1}{24} \right) - \frac{81}{-24}\right)\\ &= 2\pi \frac{64}{24} \end{aligned}

Centro de Massa

Representado por (x,y,z)(\overline x, \overline y, \overline z), o centro de massa de um sólido pode ser calculado através da seguinte expressão, para cada uma das suas coordenadas:

x=SxfSf=1MassaSxf\overline x = \frac{\int_S xf}{\int_S f} = \frac{1}{\text{Massa}} \cdot \int_S xf
y=SyfSf=1MassaSyf\overline y = \frac{\int_S yf}{\int_S f} = \frac{1}{\text{Massa}} \cdot \int_S yf
z=SzfSf=1MassaSzf\overline z = \frac{\int_S zf}{\int_S f} = \frac{1}{\text{Massa}} \cdot \int_S zf

No caso f=1f=1, (x,y,z)(\overline x, \overline y, \overline z) chama-se centroide.

x=SxS1\overline x = \frac{\int_S x}{\int_S 1}

Momento de Inércia em Relação a um Eixo

Podemos também, através do integral, calcular o momento de inércia em relação a um eixo.

O momento de inércia em relação a um eixo LL pode ser calculado através de

IL=Sdensidade×(distaˆncia aˋ lateral)2I_L = \int_S \text{densidade} \times (\text{distância à lateral})^2

Como exemplo, para o eixo zzzz:

Iz=Sf(x2+y2distaˆncia de umponto ao eixo dos zz)2=Sf(x2+y2)I_z = \int_S f\cdot (\underbrace{\sqrt{x^2+y^2}}_{\begin{array}{c} \scriptsize\text{distância de um} \\ \scriptsize\text{ponto ao eixo dos }zz \end{array}})^2 = \int_S f\cdot (x^2+y^2)

E para o eixo yyyy:

Iy=Sf(x2+z2)I_y = \int_S f\cdot (x^2+z^2)

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